Выпишите все подмножества множеств {a,b,c} и {a,b,c,d}. Сколько их?​

Раскроем скобки:

n(n² + 6n + 5) кратно шести.

6n² и так кратно шести, поэтому n³ + 5n кратно шести.

Пускай при делении n на 6 получим х плюс у в остаче, т. е. n/6 = x + y, тогда n можно записать как 6x + y, x ∈ Z, x ≥ 0, y ∈ {0;1;2;3;4;5}.

(6x + y)³ + 5*(6x + y) = (6x + y)((6x + y)² + 5) = (6x + y)(36x² + 12xy + y² + 5) = 216x³ + 72x²y + 6xy² + 30x + 36x²y + 12xy² + y³ + 5y = 216x³ + 108x²y + 18xy² + 30x + y³ + 5y.

Такие члены, как 216x³, 108x²y, 18xy², 30x делятся на 6, поэтому осталось доказать, что y³ + 5y = y(y² + 5) делится на 6.

Для этого просто рассмотрим все 6 случаев:

y = 0: 0 mod 6 = 0;
y = 1: 1 + 5 mod 6 = 0;
y = 2: 8 + 5*2 mod 6 = 0;
y = 3: 27 + 15 = 42 mod 6 = 0;
y = 4: 64 + 20 = 84 mod 6 = 0;
y = 5: 125 + 25 mod 6 = 0.

Пусть Х км/ч - скорость 1-го велосипедиста

тогда У км/ч - скорость 2-го велосипедиста

2х - проехал 1-й за 2 ч

2у - приехал 2-й за 2 ч

Известно, что 1-й за 2 ч проехал на 6 км больше

Составим первое уравнение :

2х-2у=6

48/Х - время 1-го велосипедиста

48/у - время 2-го велосипедиста

Известно, что 2-й затратил больше на 32 мин

Выразим минуты в часах :

32 мин = 32/60ч = 8/15 ч

Составим 2-е уравнение:

48/у - 48/Х =8/15

Составим систему уравнений:

{ 2х-2у=6

{ 48/у -48/Х=8/15

2х-2у=6

2х=6+2у

Х= 3+у

48/у - 48/ (3+у) = 8/15

48*15 *(3+у) - 48*15 *у =8у(у+3)

2160 +720 у - 720 у = 8у^2 + 24 у

- 8у^2 -24 у +2160 =0 | : ( -8)

У^2 + 3у - 270 =0

Д= \| 1089=33

У1= ( -3+33)/2 = 15 км/ч

У2= ( -3-33)/2= - 18 км/ч ( не явл корнем )

Х1= 3+у1

Х1= 3+15=18 км/ч

ответ: скорость 1-го велосипедиста 18 км/ч ;

скорость 2-го велосипедиста 15 км/ч