XLVII Всероссийская олимпиада школьников по математике 2020/2021 учебный год • Школьный этап • Ульяновская область, г.Ульяновск 7 класс (каждая задача оценивается в время на решение всех задач — 80 минут) + 7-1. В школе № 13 города N проводилась олимпиада по математике в ней собирались принять участие 65% учащихся 4-11 классов. Однако 8% первоначально заявленных участников в день олимпиады болели, и лишь 25% заболевших заменили другими учениками. В итоге в олимпиаде приняли участие 611 учащихся школы № 13. Сколько всего учеников в этой школе, если известно, что количество школьников в 1-3 классах составляет 29,5% от количества школьников в 4-11 классах? 7-2. Вчера вечером Настя насчитала на полянке 43 одуванчика — некоторые были жёлтыми, некоторые уже белыми. К утру пять белых одуванчиков облетели, а семь жёлтых побелели, но зато распустились ещё десять одуванчиков, и жёлтых цветков стало втрое больше, чем белых. Каких одуванчиков было больше вчера вечером жёлтых или белых, и во сколько раз? на восемь по 7-3. Участок, изображённый на рисунке, требуется разделить равных (одинаковых форме и по размеру) участков, причём границы участков должны быть прямолинейными. Возможно ли это? Если да, сделайте чертёж и изобразите найденный раздела; постарайтесь при этом провести как можно меньше прямых линий. Если требуемый раздел невозможен, докажите. • 7-4. Заполните свободные «соты» 17 18 последовательными натуральными числами, начиная с 1 (с учётом уже расставленных каждое 16 | 2 число должно быть использовано ровно один раз), причём так, чтобы суммы чисел во всех рядах горизонтальных и диагональных были 10 равны. Найдите все возможные решения или докажите, что их не существует. 3 7-5. Одна (и только одна) из цифр пятизначного числа – двойка. Если вычеркнуть двойку, то число уменьшится ровно в 9 раз. На каком месте стоит двойка? Найдите все числа, обладающие этим свойством. 7-6. В межгалактической конференции участвуют триста сорок обитателей разных звёздных систем. Землянин Вася заметил, что у представителя Сириуса тринадцать рук, а у каждого из остальных участников меньше. Вася утверждает, что хотя бы у двадцати семи участников конференции одинаковое количество рук. Прав ли он? Докажите.
Даны два равнобедренных треугольника с равными углами при вершинах. В первом треугольгике длина основания равна 5 см, а периметр 25 см. Во втором треугольнике длина основания равна 15 см. укажите длины боковых сторон второго треугольника. а) 30см б) 60см в) 10см
ответ а)
треугольники подобны, а2=15, а1=5 а2:а1=15:5=3 ⇒ боковые стороны второго треугольника в 3 раза больше боковых сторон первого треугольника. Периметр первого треугольника равен 25, основание равно 5 , ⇔ боковые стороны равны по10, т.о. боковые стороны второго треугольника равны по 3·10=30
а) 30см
б) 60см
в) 10см
ответ а)
треугольники подобны, а2=15, а1=5 а2:а1=15:5=3 ⇒ боковые стороны второго треугольника в 3 раза больше боковых сторон первого треугольника. Периметр первого треугольника равен 25, основание равно 5 , ⇔ боковые стороны равны по10, т.о. боковые стороны второго треугольника равны по 3·10=30
1) f'(x)=6x^2-6x-12;
f'(x)=0 <=> 6x^2-6x-12=0 |:6
x^2-x-2=0
x1=2 - не входит в промежуток в условии
x2=-1
f(-2)=-16-12+24+24=20
f(1)=2-3+12+24=35
f(-1)=-2-3+12+24=31;
ответ: minf(x)=f(-2)=20; maxf(x)=f(1)=35;
2) f'(x) = -sin2x*2+sinx*2
f'(x)=0 <=> 2sinx-2sin2x=0 |:2
sinx-sin2x=0; sinx-2sinxcosx=0; sinx(1-2cosx)=0; sinx=0 или cosx=-1/2;
x=pi * n, n принадлежит Z или x=+-2pi/3+2pi*k, k принадлежит Z;
f(-pi/3)=cos(-2pi/3) - 2cos(pi/3)=-1/2-2*1/2=-1/2-1=-3/2
f(pi)=cosx(2pi) - 2cos(pi)=1+2=3;
f(2pi/3)=cos(4pi/3)-2(2pi/3)=-1/2+2*1/2=-1/2+1=1/2;
ответ: minf(x)=f(-pi/3)=-3/2; maxf(x)=f(pi)=3;