Для решения данного рационального уравнения нам потребуется использовать метод разложения на простейшие дроби. Для начала, определим область допустимых значений уравнения, то есть значения переменной y, при которых знаменатели не обращаются в ноль. В данном случае, заметим, что знаменатели уравнения являются многочленами степени 1, поэтому у них есть единственные точки, в которых они обращаются в ноль.
Знаменатель (y-3) обратится в ноль при y=3, и знаменатель (y+4) обратится в ноль при y=-4. Значит, область допустимых значений уравнения - это все значения, кроме y=3 и y=-4.
Далее, применим метод разложения на простейшие дроби. Для этого разложим функцию на сумму двух дробей:
y^3-y^2-20y = A/(y-3) + B/(y+4)
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (y-3)(y+4), чтобы избавиться от знаменателей:
Знаменатель (y-3) обратится в ноль при y=3, и знаменатель (y+4) обратится в ноль при y=-4. Значит, область допустимых значений уравнения - это все значения, кроме y=3 и y=-4.
Далее, применим метод разложения на простейшие дроби. Для этого разложим функцию на сумму двух дробей:
y^3-y^2-20y = A/(y-3) + B/(y+4)
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (y-3)(y+4), чтобы избавиться от знаменателей:
(y^3-y^2-20y)(y-3)(y+4) = A(y+4) + B(y-3)
Теперь проведем процесс разложения:
(y^3-y^2-20y)(y-3)(y+4) = A(y+4) + B(y-3)
Раскроем скобки:
y^3(y-3)(y+4) - y^2(y-3)(y+4) - 20y(y-3)(y+4) = A(y+4) + B(y-3)
Раскроем скобки:
y^3(y^2+y*4-3y-12) - y^2(y^2-3y+4y-12) - 20y(y^2-3y+4y-12) = A(y+4) + B(y-3)
Раскроем скобки:
y^5 + y^4*4 - 3y^4 - 12y^3 - y^4 + 3y^3 - 4y^3 + 12y^2 - 20y^3 + 60y^2 - 80y - y^2*3 + 9y^2 - 4y*3 + 36y - 20y^2 + 60y - 80 = Ay + 4A + By - 3B
Сгруппируем подобные члены:
y^5 - 2y^4 - 41y^3 + 47y^2 - 84y - 80 = (A+B)y + 4A - 3B
Теперь сравним коэффициенты при соответствующих степенях y:
1) y^5: коэффициент 1, A+B=0
2) y^4: коэффициент -2, нет соответствующего члена у правой части
3) y^3: коэффициент -41, нет соответствующего члена у правой части
4) y^2: коэффициент 47, нет соответствующего члена у правой части
5) y: коэффициент -84, нет соответствующего члена у правой части
6) свободный член: -80, 4A - 3B = -80
Исходя из этих уравнений, можно построить систему:
A + B = 0
4A - 3B = -80
Решая эту систему уравнений, найдем значения A и B. Произведем сложение первого уравнения системы суммы коэффициентов A и B:
A + B + 4A - 3B = 0 - 80
5A - 2B = -80
Домножим второе уравнение на 2:
8A - 6B = -160
Вычтем последнее уравнение из предпоследнего:
(5A - 2B) - (8A - 6B) = -80 - (-160)
5A - 2B - 8A + 6B = 80 + 160
-3A + 4B = 240
Теперь выразим B через A из первого уравнения системы и подставим это в последнее уравнение:
-3A + 4(-A) = 240
-3A - 4A = 240
-7A = 240
A = -240 / -7
A = 34.28 (округляем до двух десятичных знаков, получаем A = 34.28)
Теперь найдем B, подставив найденное значение A в первое уравнение системы:
34.28 + B = 0
B = -34.28 (округляем до двух десятичных знаков, получаем B = -34.28)
Таким образом, A = 34.28 и B = -34.28.
Вернемся к выражению:
(y^3-y^2-20y)/(y-3)(y+4) = A/(y-3) + B/(y+4)
Подставим значения A и B:
(y^3-y^2-20y)/(y-3)(y+4) = 34.28/(y-3) - 34.28/(y+4)
Теперь приравняем данное выражение к нулю:
34.28/(y-3) - 34.28/(y+4) = 0
Теперь решим полученное уравнение:
34.28/(y-3) = 34.28/(y+4)
Домножим обе стороны уравнения на (y-3)(y+4):
34.28(y+4) = 34.28(y-3)
Раскроем скобки:
34.28y + 137.12 = 34.28y - 102.84
Теперь сократим переменные:
137.12 = -102.84
Опа! Получилось противоречие. У нашего уравнения нет решений.
Ответ: Рациональное уравнение не имеет решений.