Все знают, как выглядит парабола y = x2. В седьмом классе мы рисовали таблицу:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
После этого по точкам строили график:
Параболу y = ax2 + bx + c мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.
1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
На рисунке приведены две параболы y = ax2 с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.
2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y ). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).
На рисунке приведены две параболы y = a1x2 и y = a2x2, у которых a2 > a1 > 0
3. Абсцисса вершины параболы y = ax2 + bx + c находится по формуле:
x_{0}=-\frac{b}{2a}
Для нахождения ординаты вершины y0 удобнее всего подставить x0 в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что
y_{0}=-\frac{D}{4a},
где D = b2 − 4ac — дискриминант.
4. Точки пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью X находятся с решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.
5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).
А теперь покажем, как с графика функции y = ax2 + bx + c решать квадратные неравенства.
1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство
x2 < 400
Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.
Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? :-)
Давайте решим это неравенство с графика. Изобразим схематично график функции y = x2 и отметим все значения x, для которых y < 400.
Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).
2. Решим неравенство: x2 − 3x − 10 ≥ 0.
Графиком функции y = x2 − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x2 − 3x − 10 = 0, находим x1 = −2 и x2 = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:
Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при \small x\in \left ( -\infty ;-2 \right ]\cup \left [ 5;+\infty \right ).
Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!
3. Ещё одно неравенство: x2 + 2x + 4 > 0.
Ветви параболы y = x2 + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x2 + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.
Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.
Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.
ответ: \small \left ( -\infty ,+\infty \right ).
Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.
4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. ответ приведите в тыc. руб.
Подставим выражение для q в формулу выручки:
r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p2
Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:
100p − 10p2 ≥ 240
Переносим всё вправо и делим на 10:
p2 − 10p + 24 ≤ 0
Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p2 − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.
Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.
Примем всю работу по покраске забора за единицу. Пусть производительность труда Ивана равна х, тогда производительность Андрея равна 4х. Их общая производительность равна (х+4х) и равна 5х. Чтобы найти время, за которое будет покрашен забор, нужно всю работу поделить на производительность. Таким образом, Андрей и Иван вместе покрасят забор за (1/(5х)) часов, что по условию равно 2 ч. Составляем уравнение: 1/10 - производительность труда Ивана. 1 : (1/10) = 1 * 10 = 10 ч - за столько часов может покрасить забор Иван.
Все знают, как выглядит парабола y = x2. В седьмом классе мы рисовали таблицу:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
После этого по точкам строили график:
Параболу y = ax2 + bx + c мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.
1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
На рисунке приведены две параболы y = ax2 с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.
2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y ). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).
На рисунке приведены две параболы y = a1x2 и y = a2x2, у которых a2 > a1 > 0
3. Абсцисса вершины параболы y = ax2 + bx + c находится по формуле:
x_{0}=-\frac{b}{2a}
Для нахождения ординаты вершины y0 удобнее всего подставить x0 в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что
y_{0}=-\frac{D}{4a},
где D = b2 − 4ac — дискриминант.
4. Точки пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью X находятся с решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.
5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).
А теперь покажем, как с графика функции y = ax2 + bx + c решать квадратные неравенства.
1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство
x2 < 400
Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.
Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? :-)
Давайте решим это неравенство с графика. Изобразим схематично график функции y = x2 и отметим все значения x, для которых y < 400.
Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).
2. Решим неравенство: x2 − 3x − 10 ≥ 0.
Графиком функции y = x2 − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x2 − 3x − 10 = 0, находим x1 = −2 и x2 = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:
Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при \small x\in \left ( -\infty ;-2 \right ]\cup \left [ 5;+\infty \right ).
Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!
3. Ещё одно неравенство: x2 + 2x + 4 > 0.
Ветви параболы y = x2 + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x2 + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.
Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.
Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.
ответ: \small \left ( -\infty ,+\infty \right ).
Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.
4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. ответ приведите в тыc. руб.
Подставим выражение для q в формулу выручки:
r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p2
Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:
100p − 10p2 ≥ 240
Переносим всё вправо и делим на 10:
p2 − 10p + 24 ≤ 0
Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p2 − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.
Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.
ответ: 6.
Пусть производительность труда Ивана равна х, тогда производительность Андрея равна 4х. Их общая производительность равна (х+4х) и равна 5х. Чтобы найти время, за которое будет покрашен забор, нужно всю работу поделить на производительность. Таким образом, Андрей и Иван вместе покрасят забор за (1/(5х)) часов, что по условию равно 2 ч. Составляем уравнение:
1/10 - производительность труда Ивана.
1 : (1/10) = 1 * 10 = 10 ч - за столько часов может покрасить забор Иван.