Задания I этапа республиканской олимпиады по математике
11 класс
2020/2021 учебный год
1. On вулканостанции до вершины вулкана исследователю надо идти 4 часа по
дороге, а затем 4 часа по тропинке. На вершине расположено два кратера. Первый
кратер 1 час извергается, потом 17 часов молчит, потом опять 1 час извергается и
Т.д. Второй кратер 1 час извергается, 9 часов молчит, 1 час извергается и т.д. Во
ремя извержения первого кратера опасно идти и по тропинке, и по дороге, а во
время извержения второго опасна только тропинка. Ваня увидел, что ровно в 12
часов кратера начали извергаться одновременно. Сможет ли он когда-нибудь
поняться на вершину вулкана и вернуться назад, не рискуя жизнью?​

1)Функция определена при тех х, при которых не обращается в 0 знаменатель. Решая уравнение arcsin(x²-3)=0, находим x²-3=0. Решая уравнение x²-3=0, находим  x=+-√3. С другой стороны, должно выполняться неравенство -1≤x²-3≤1, или 2≤x²≤4, откуда √2≤x≤2. либо -2≤x≤-√2. Окончательно находим, что область определения состоит из четырёх интервалов:
-2≤x<-√3, -√3<x≤-√2, √2≤x<√3,√3<x≤2
2. Так как числитель дроби есть 1, то в нуль функция не обращается. А так как знаменатель дроби принимает любые значения, то область значений функции есть два интервала: -∞<G(x)<0 и 0<G(x)<+∞  То есть функция принимает любые значения, кроме 0.

а) 15^9+31^3

1)15^9=15*15^8 -произведение двух нечетных чисел даст -нечетное число.

2)31^3=31*31^2 -произведение двух нечетных чисел даст -нечетное число.

3)а сумма двух нечетных чисел даст -четное

 

б) 16^7+25^5-41^4

1)16^7=16*16^6 - произведение двух четных чисел даст -четное число.

2)25^5=25*25^4 -произведение двух нечетных чисел даст -нечетное число.

3)41^4=41*41^3 -произведение двух нечетных чисел даст -нечетное число.

4)25^5-41^4 -разность двух нечетных чисел даст -четное число.

5)(16^7)+(25^5-41^4) -сумма двух четных чисел даст -четное число.