занимаемся по сайту учи.ру, в чате с учителем есть там рука, которую ты поднимаешь, а после отвечаешь, так вот до меня эта тема дошла поздно и я не знаю что значит рука красного цвета, это значит что она поднята или нет?

Я думаю, в правой части уравнения был знак деления, то есть 2 / √2. В этом случае решение такое. 
1- cos 2x = 2 /√2 sin x ;
1 - (1 - 2 sin^2 x) = 2 /√2 sin x;
1 - 1 + 2 sin^2 x - 2 /√2 sin x = 0;
2 sin^2 x - 2 /√2 sin x = 0;
2 sin x( sin x - 1 /√2) = 0;
sin x = 0;   x = π·k; k∈Z.
sin x = 1/√2;
 sin x = √2 / 2;  x = π/4 + 2 πn,
                         x = 3π/4 + 2πn; n∈Z.
А если все же решить так, как в условии,  то будет так.
1- cos 2x = 2 √2 sin x ;
1 - (1 - 2 sin^2 x) = 2 √2 sin x;
1 - 1 + 2 sin^2 x - 2 √2 sin x = 0;
2 sin^2 x - 2 √2 sin x = 0;
2 sin x( sin x - √2) = 0;
sin x = 0;   x = π·k; k∈Z.
sin x =√2;
√2 > 1; ⇒x∈∅  
 

Чтобы доказать,  что  13a< 4b+27,  найдем разность левой и правой частей  неравенства.  Если получим  выражение <0,  то неравенство доказано
13a-( 4b+27)=13a-4b-27=13a-13b+9b-27=13(a-b)+9(b-3)<0,
представили  одночлен -4b   в виде суммы двух слагаемых  -13b+9b,  чтобы сгруппировать и вынести  общий множитель за скобки
т.к. a <b,  то  a -b<0,    13(a-b)<0
т.к.   b<3,    b-3<0,      9(b-3)<0
13(a-b)+9(b-3)<0  -  сумма отрицательных чисел  есть число отрицательное,    ч.т.д.