Запасная деталь может находиться в одной из трех партий с вероятностями: 0,2; 0,5; 0,3. вероятности того, что деталь проработает положенное время без ремонта, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. определить вероятность того, что деталь, проработавшая положенное время, взята из второй или третьей партии.
P(A|B) = P(A и B) / P(B)
где P(A|B) - вероятность наступления события A при условии, что произошло событие B;
P(A и B) - вероятность одновременного наступления событий A и B;
P(B) - вероятность наступления события B.
В данном случае:
A - деталь проработала положенное время из второй или третьей партии;
B - деталь проработала положенное время вообще.
Для начала найдем вероятность, что деталь будет взята из второй или третьей партии, то есть P(A). Здесь нам помогут вероятности того, что деталь принадлежит каждой из партий:
P(A) = P(деталь из второй партии) + P(деталь из третьей партии)
= 0,5 + 0,3
= 0,8
Теперь найдем вероятность, что деталь проработает положенное время без ремонта, то есть P(B). Здесь также пригодятся вероятности для каждой партии:
P(B) = P(деталь из первой партии работает без ремонта) * P(деталь из первой партии) +
P(деталь из второй партии работает без ремонта) * P(деталь из второй партии) +
P(деталь из третьей партии работает без ремонта) * P(деталь из третьей партии)
= 0,9 * 0,2 + 0,8 * 0,5 + 0,7 * 0,3
= 0,18 + 0,4 + 0,21
= 0,79
Теперь осталось найти вероятность, что деталь проработала положенное время из второй или третьей партии, при условии, что она вообще проработала положенное время. Используем формулу условной вероятности:
P(A|B) = P(A и B) / P(B)
P(A и B) - вероятность одновременного наступления событий A и B. В данном случае она равна вероятности того, что деталь проработала положенное время из второй или третьей партии, то есть P(деталь из второй или третьей партии работает без ремонта) * P(деталь из второй или третьей партии):
P(A и B) = (P(деталь из второй партии работает без ремонта) * P(деталь из второй партии)) +
(P(деталь из третьей партии работает без ремонта) * P(деталь из третьей партии))
= (0,8 * 0,5) + (0,7 * 0,3)
= 0,4 + 0,21
= 0,61
Теперь можем вычислить вероятность P(A|B):
P(A|B) = P(A и B) / P(B)
= 0,61 / 0,79
≈ 0,772
Итак, вероятность того, что деталь, проработавшая положенное время, взята из второй или третьей партии, составляет примерно 0,772 или около 77,2%.