Золоту медаль за успіхи у навчанні отримали 15 випускників, що становить 0,8% усіх учнів школи. Скільки учнів навчається в цієї школі?

y = x³ + 2x² + x + 3       [ - 3 ; - 0,5]

Найдём производную :

y' = (x³)' + 2(x²)' + (x)' + 3' = 3x² + 4x + 1

Приравняем производную к нулю :

3x² + 4x + 1 = 0

D = 4² - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4 = 2²

x= - 1/3 ∉ [- 3 ; - 0,5]

Сделаем рисунок и определим знаки производной на полученных промежутках :

                   +                               -

   [ - 3]___________[- 1]____________[- 0,5]

                   ↑                               ↓

                                   max

На промежутке [- 3 ; - 1] функция возрастает, а на промежутке [- 1; - 0,5]- убывает . Значит в точке x = - 1 функция имеет максимум.

y (- 1) = (- 1)³ + 2 * (- 1)² - 1 + 3 = - 1 + 2 - 1 + 3 = 3

ответ : наибольшее значение функции равно 3

Найти угол между прямой 2x+3y-1=0 и прямой проходящей через точки
M₁ (-1;2)  и  M ₂(0;3)  .

Уравнение прямой проходящей через точки  M₁ (-1;2)  и  M ₂(0;3) : 
y - 2 = ( 3 - 2 ) /(0 -(-1) *( x -(-1))⇔  x -  y  +3  = 0   
Найдем yгол  α между прямой 2x+3y - 1=0  и  прямой   x -  y  +3  = 0 :
cosα = |A₁A₂ +B₁B₂| /√( A₁² +B₁²) * √(A₂² +B₂²) =
|2*1 +3*(-1)| /√( 2² +3²) * √(1² +(-1)²)  = 1 /√ 13 * √2 ;
cosα  =  1/  √26 ;   α  =arc cos 1/  √26

* * * * * * *        или       * * * * * * *
2x+3y  -1=0  и  прямой   x -  y  +3  = 0 ⇔  y = -(2/3)*x+1/3 ;  y = x +3 .
tqα = (k₂- k₁)/(1+  k₁*k₂)  = (1 -(-2/3)) /(1+1*(-2/3)) = 5.
α  =arctq 5 ..
---
1+tq²α =1/cos²α