Зробити графік нерівності ​

Наш многочлен имеет вид

Пусть меньший его корень равен . Так как корни образуют арифметичекую прогрессию, можем записать:

Многочлен раскладывается на линейный множители следующим образом:

Напрашивается замена . Тогда

Нам нужно найти минимумы этой функции, поэтому дифференцируем:

Теперь требуется найти корни этого многочлена. Используя теорему о рациональных корнях многочлена можно найти корень

Согласно теореме Безу, должен делиться на . Разложим на множители, чтобы найти остальные корни:

Решив квадратное уравнение , найдем корни

Расположив корни

на числовой прямой и использовав метод интервалов, узнаем, что производная меняет знак с минуса на плюс в точках , это и есть точки минимума. Переходя обратно к многочлену от x, получаем точки

Квадрат расстояния между ними:

task/30433512 Найти такие a, при котором уравнение: 2x²-|x|+ a=0 имеет  более 3 корней

решение  2x²- |x|+ a=0 ⇔|x|²- (1/2)*|x|= -a/2 ⇔ ( | x| - 1/4 )² = - a/2 +1/16

( | x| - 1/4 )² = (1 -8a)/16   графическое  решение см ПРИЛОЖЕНИЕ

не имеет корней ,  если (1 -8a)/16 < 0 ⇔ a > 1/8     a ∈(1/8 ; ∞)

два корня , если [ (1-8a)/16 =0 ; (1 -8a)/16 >1/16.  a ∈( -∞,0) ∪ {1/8}

три корня , если (1 -8a)/16 = 1/16                           a = 0

четыре  корня , если 0 < (1 -8a)/16 <1/16 ⇔     a ∈ ( 0 ; 1/8 )  

                                   ответ : a∈ ( 0  ; 1/8 )  

0 < (1 -8a)/16 <1/16 ⇔ 0 < 1 -8a < 1 ⇔ -1 < -8a < 0 ⇔ 0 < 8a < 1 ⇔ 0 < a < 1/8