Астронавты, подлетев на космическом модуле к неизвестной планете, решили измерить среднюю плотность вещества планеты. для этого они с выключенными двигателями облетели планету на низкой круговой орбите и измерили время одного полного оборота модуля вокруг планеты. чему равна плотность планеты, если время оборота модуля равно t = 2,5 часа. планету считать идеальным шаром. ответ выразить в г/см³.
Задачка сугубо физическая, астрономии тут нет.
Плотность шара (планеты)
p = M/V = M/(4пR^3/3) = 3*M/(4пR^3)
где M - масса планеты, R - ее радиус
Массу M можно определить из уравнения ускорения,
кругового движения:
a = v^2/R
где R - радиус орбиты (для простоты равен радиусу планеты)
а скорость полета
v = 2пR/t
где t - время полного облета планеты (из условия).
то есть
a = 4п^2R/t^2
с другой стороны ускорение свободного падения
a = g*M/R^2
присваиваем эти два ускорения
4п^2R/t^2 = g*M/R^2
откуда
M = 4*п^2*R^3/(gt^2)
подставляем это выражение для массы в первое выражение для плотности:
p = 3*4*п^2*R^3/(gt^2)/(4пR^3) = 3п/(gt^2)
где g = 6.67*10^(-11) - гравитационная постоянная, а t = 2.5*60*60 = 9000 сек.
считаем :
p = 3*3.1415926/(6.67*10^(-11)*9000^2) = 1744 кг/м3 или 1.74 г/см3