В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. В условии не сказано, что призма прямая, может просто пропущено. Если призма не прямая, то данных для решения задачи недостаточно, а решение будет очень сложным, поэтому будем решать задачу для прямой призмы. Чертим призму, так, как она будет выглядеть, если одна грань призмы обращена к нам, а мы смотрим на призму спереди и чуть справа, то есть видим переднюю и правую грани. Обозначим вершины при нижнем основании. Ближнюю левую вершину - точкой А, и дальше по ходу часовой стрелки (дальнюю левую В, дальнюю правую С, ближнюю правую D. Вершины при верхнем основании обозначим соответствующими буквами с индексом 1. Примем, что задана диагональ призмы АС1. Она равна (а) . Проведем диагональ АВ1 левой боковой грани АА1В1В. Получили прямоугольный треугольник АВ1С1 с прямым углом АВ1С1 и гипотенузой АС1. Угол В1АС1 этого треугольника и есть заданный угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани. По условию он равен 30 градусам. В1С1 - катет, лежащий против угла в 30 градусов, значит он равен половине гипотенузы, т. е. а/2 (это сторона основания, вопрос № 1). Катет АВ1 очевидно равен а*sqrt(3)/2. В1С1 - это сторона основания (квадрата) . Значит все стороны оснований равны а/2. Из прямоугольного треугольника АВ1В с прямым углом В1ВА и гипотенузой АВ1 по Пифагору находим ВВ1=sqrt(AB1^2-AB^2)=sqrt((а*sqrt(3)/2)^2-(a/2)^2)=sqrt(3*a^2/4-a^2/4)=sqrt(2*a^2/4)=a*sqrt(2)/2. Это высота призмы. Проведем диагонали (АС) и (ВD) нижнего основания призмы (квадрата) . Точку их пересечения обозначим К. Очевидно, что если сторона квадрата равна а/2, то его диагональ равна a*sqrt(2)/2. Рассмотрим прямоугольный треугольник АС1С. В нем АС=a*sqrt(2)/2 и СС1=ВВ1=a*sqrt(2)/2. Значит треугольник АС1С - прямоугольный равнобедренный. Углы С1АС и АС1С равны 45 градусам. Угол С1ФС и есть искомый по вопросу № 2 угол между диагональю призмы и плоскостью основания. Площадь одной боковой грани АА1В1В равна АВ*ВВ1=а/2*a*sqrt(2)/2=а^2*sqrt(2)/4, а площадь боковой поверхности (вопрос № 3) равна 4*а^2*sqrt(2)/4=а^2*sqrt(2). Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы. Поскольку она параллельна диагонали АС1, значит ни одна из ее точек (нас интересует точка А) не принадлежит этой плоскости. Отсюда следует, что искомая плоскость проходит через диагональ ВD. Поскольку искомая плоскость параллельна АС1, в ней должны быть прямые, параллельные АС1 и пересекающие ВD. Рассмотрим треугольник АС1С. Точка К лежит на середине АС. Проведем через нее прямую, параллельную АС1. Это будет средняя линия треугольника АС1С, значит она равна а/2 и пересечет ребро СС1 посередине. Обозначим эту точку М. Теперь мы можем построить сечение. Это будет треугольник ВМD. Очевидно, что он равнобедренный (ВМ=DМ) , а КМ является его медианой, и высотой. Площадь треугольника ВМD (вопрос № 4) равна ВD*МК/2=(a*sqrt(2)/2)*а/2)/2=а^2*sqrt(2)/8
В 98 километрах от Москвы располагается славный город Волоколамск — город с многовековой историей, традициями и культурой. Занимая площадь 30 квадратных километров, на ней проживает более 24 тысяч человек.Волоколамск — город районного подчинения в Московской области Российской Федерации. Про этот город можно смело сказать, что он носит особый и важный статус, ведь был награжден орденом Отечественной войны I степени в 1985 году. Спустя некоторое время ему было присуждено почетное звание «Город воинской славы».В письменных источниках Волоколамск впервые упоминается в 1135 году. Из этого следует, что он является самым старым городом в Московской области. Ежегодно день города отмечается в последнее воскресение июля, и в следующем году городу исполнится 878 лет.Само название города содержит в себе интересные факты, связанные с далеким Оно происходит от слова "волок", которым шли жители великого Новгорода. Они занимались переправлением судов из реки Ламы в Волошню — приток реки Рузы. Здесь контролировался транзит судов, в то время город являлся важным торговым пунктом. Во время Великой Отечественной войны город значительно пострадал, было разрушено много зданий и построек. Долгое время город был оккупирован немецкими захватчиками.На сегодняшний день Волоколамск можно по праву считать одним из самых чистых городов в районе Москвы. Культурная жизнь города очень разнообразна и красочна. Каждый год в конце ноября, начиная с 2004, здесь проходит международный фестиваль военно-патриотического фильма им. российского кинорежиссера и сценариста С.Ф. Бондарчука «Волоколамский рубеж». В фестивале принимают участие художественные и документальные фильмы, посвещенные теме войны, нравственного поведения, героизма и патриотизма. В каждой номинации существуют почетные призы и награды.
Площадь треугольника ВМD (вопрос № 4) равна ВD*МК/2=(a*sqrt(2)/2)*а/2)/2=а^2*sqrt(2)/8