Пусть ковер-самолет находится в точке А на высоте h от поверхности Земли. Прямая AB – касательная к окружности с центром О, обозначающей большую окружность земного шара. Находим катет AB из прямоугольного треугольника AOB:
AB = √(R +h)² - R² = √2Rh + h².
Поскольку h значительно меньше R, заключаем, что угол α мал и, выраженный в радианах, составляет:
α ≈ sin α = AB/AO = √2Rh +h²/R +h ≈ √2Rh/R = √2h/R. (*)
Подставим в формулу (*) R = 6400 км и подсчитаем градусную меру угла α, помня, что 1 радиан равен 57,3°, тогда 1° = 1/57,3 (радиан). После подстановок получаем: α ≈ √h/56,56 ≈1°√h.
По условию, высота h – это 600-700 локтей, т.е. 300-350 (м), или 0,3-0,35 (км). Тогда√0,3<√h<√0,35, т.е. 0,54<√h<0,59. Значит, 0,54°< α <0,59°.
На рис. заштрихована часть погруженной в тень поверхности Земли. Но пассажиры ковра-самолета видят весь солнечный диск, поскольку рассматривают его под углом β, который равен углу α (α и β – это углы со взаимно перпендикулярными сторонами). А размер угла α, как видно из подсчетов, чуть превышает угловой размер видимого солнечного диска.
Значит, Хоттабыч правильно рассчитал высоту полета.
AB = √(R +h)² - R² = √2Rh + h².
Поскольку h значительно меньше R, заключаем, что угол α мал и, выраженный в радианах, составляет:
α ≈ sin α = AB/AO = √2Rh +h²/R +h ≈ √2Rh/R = √2h/R. (*)
Подставим в формулу (*) R = 6400 км и подсчитаем градусную меру угла α, помня, что 1 радиан равен 57,3°, тогда 1° = 1/57,3 (радиан). После подстановок получаем: α ≈ √h/56,56 ≈1°√h.
По условию, высота h – это 600-700 локтей, т.е. 300-350 (м), или 0,3-0,35 (км). Тогда√0,3<√h<√0,35, т.е. 0,54<√h<0,59. Значит, 0,54°< α <0,59°.
На рис. заштрихована часть погруженной в тень поверхности Земли. Но пассажиры ковра-самолета видят весь солнечный диск, поскольку рассматривают его под углом β, который равен углу α (α и β – это углы со взаимно перпендикулярными сторонами). А размер угла α, как видно из подсчетов, чуть превышает угловой размер видимого солнечного диска.
Значит, Хоттабыч правильно рассчитал высоту полета.