Функция полезности потребителя TU=2Qx*Qy. Цены товаров Px=15,Pv=5,доход потребителя- 50 ден. ед. Доход полностью тратится на приобретение данных товаров. Определить оптимальный набор, который приобретет рациональный потребитель. Как изменить данный набор, если Px=20 ден. ед?
Итак, у нас есть функция полезности потребителя, которая выглядит так: TU = 2Qx * Qy. Эта функция показывает, какую полезность получит потребитель от потребления определенного количества товаров X и Y.
Нам также известны цены на эти товары: Px = 15 и Py = 5. И доход потребителя составляет 50 денежных единиц. Доход потребителя полностью тратится на приобретение этих товаров.
Наши цели:
1. Определить оптимальный набор товаров, который потребитель будет покупать при данных ценах и доходе.
2. Определить, как изменится данный набор товаров, если цена на товар X изменится на 20 денежных единиц.
Для начала, давай рассчитаем предельные полезности от каждого товара. Предельная полезность - это добавочная полезность, которую получает потребитель от потребления единицы дополнительного товара.
Мы знаем функцию полезности: TU = 2Qx * Qy.
Чтобы рассчитать предельную полезность по товару X, нам нужно взять производную функции полезности по Qx и затем умножить на 2.
TUx = ∂TU/∂Qx * 2 = 2Qy.
Аналогичным образом рассчитаем предельную полезность по товару Y.
TUy = ∂TU/∂Qy * 2 = 2Qx.
Зная предельные полезности, мы можем рассчитать безразличие потребителя между двумя товарами, то есть определить, сколько ему нужно потреблять каждого товара при данных ценах и доходе.
Для этого воспользуемся правилом равенства предельных полезностей: MUx/Px = MUy/Py, где MUx - предельная полезность товара X, Px - цена товара X, MUy - предельная полезность товара Y, Py - цена товара Y.
Теперь подставим наши значения:
2Qy/15 = 2Qx/5.
Давай избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на 15.
2Qy = 3Qx.
Из этого уравнения можно выразить Qy через Qx: Qy = (3/2)Qx.
Теперь у нас есть соотношение между количествами товаров X и Y, которое необходимо потреблять для достижения безразличия.
Доход потребителя полностью тратится на приобретение товаров:
Qx * Px + Qy * Py = 50.
Подставляем наши данные:
Qx * 15 + Qy * 5 = 50.
Теперь, зная значение Qy через Qx из предыдущего уравнения, можем решить это уравнение:
Qx * 15 + ((3/2)Qx) * 5 = 50.
Раскрываем скобки:
15Qx + (15/2)Qx = 50.
Упрощаем:
(30/2 + 15/2)Qx = 50,
(45/2)Qx = 50.
Делим обе части уравнения на (45/2):
Qx = (50 * 2) / 45,
Qx = 100/45.
Теперь найдем Qy, подставив найденное значение Qx в уравнение Qy = (3/2)Qx:
Qy = (3/2) * (100/45).
Упрощаем:
Qy = (3 * 100) / (2 * 45).
Выполняем все действия:
Qy = 300/90,
Qy = 10/3.
Итак, найден оптимальный набор товаров: Qx = 100/45, Qy = 10/3.
Теперь рассмотрим вопрос о том, как изменится данный набор, если цена на товар X изменится на 20 денежных единиц.
Теперь у нас имеется новая цена на товар X: Px = 20. Остальные данные остаются прежними.
Повторим все шаги выше, но учитывая новую цену.
Мы опять находим предельные полезности товаров:
TUx = 2Qy,
TUy = 2Qx.
Составляем правило равенства предельных полезностей:
2Qy/20 = 2Qx/5.
Далее упрощаем уравнение:
Qy = 2Qx.
Также у нас снова есть уравнение, где доход потребителя полностью тратится на товары:
Qx * 20 + Qy * 5 = 50.
Теперь подставляем найденное значение Qy через Qx:
Qx * 20 + 2Qx * 5 = 50,
20Qx + 10Qx = 50,
30Qx = 50.
Делим обе части уравнения на 30:
Qx = 50/30,
Qx = 5/3.
Теперь находим Qy, подставив найденное значение Qx в уравнение Qy = 2Qx:
Qy = 2 * (5/3).
Выполняем все действия:
Qy = 10/3.
Итак, оптимальный набор товаров при изменении цены товара X: Qx = 5/3, Qy = 10/3.
Надеюсь, ответ был понятен и полезен для тебя, уважаемый школьник. Если у тебя еще есть вопросы, не стесняйся задавать!