Предпочтения некоторого потребителя описываются функцией полезности U(x₁,x₂), где x₁ - кол-во первого блага в потребительском наборе, x₂ - кол-во второго блага в этом же наборе. Цена первого блага была равна C₁ денежных едениц, цена второго блага равна C₂ денежных едениц, доход потребителя составляет M денежных единиц . В предположении, что потребитель весь доход расходует только на покупку этих двух благ, определить какое кол-во первого и второго блага следует покупать потребителю, чтобы достичь максимального уровня полезности? U(x₁,x₂) C₁ C₂ M
2x₁^0.5 · x₂^0.5 3 4 1200
Условие оптимального выбора потребителя гласит, что маргинальная полезность первого блага (MU₁) должна быть равна маргинальной полезности второго блага (MU₂), учитывая цены благ (C₁ и C₂). Другими словами, MU₁/MU₂ = C₁/C₂.
Для определения маргинальной полезности первого и второго блага, мы можем продифференцировать функцию полезности по количеству каждого блага. Для функции полезности U(x₁,x₂) = 2x₁^0.5 · x₂^0.5, это означает, что MU₁ = ∂U/∂x₁ и MU₂ = ∂U/∂x₂.
Продифференцируем функцию полезности по x₁:
MU₁ = ∂U/∂x₁ = ∂(2x₁^0.5 · x₂^0.5)/∂x₁
Чтобы продифференцировать эту функцию, мы можем использовать правило степенной функции:
∂(x^n)/∂x = n · x^(n-1)
Применим это правило в нашем случае:
∂(2x₁^0.5 · x₂^0.5)/∂x₁ = 0.5 · 2 · x₁^(0.5-1) · x₂^0.5 = x₂^0.5/√x₁
Аналогично, продифференцируем функцию полезности по x₂:
MU₂ = ∂U/∂x₂ = ∂(2x₁^0.5 · x₂^0.5)/∂x₂
Применим правило степенной функции:
∂(2x₁^0.5 · x₂^0.5)/∂x₂ = 0.5 · 2 · x₁^0.5 · x₂^(0.5-1) = x₁^0.5/√x₂
Теперь, учитывая цены благ (C₁ и C₂) и доход потребителя (M), мы можем записать условие оптимального выбора MU₁/MU₂ = C₁/C₂:
(x₂^0.5/√x₁)/(x₁^0.5/√x₂) = C₁/C₂
Перепишем это уравнение, чтобы избавиться от корней и упростить его:
(x₂/√x₁) / (x₁/√x₂) = C₁/C₂
(x₂/√x₁) * (√x₂/x₁) = C₁/C₂
(x₂ * √x₂) / (x₁ * √x₁) = C₁/C₂
(x₂^1.5)/(x₁^1.5) = C₁/C₂
(x₂/x₁)^1.5 = C₁/C₂
Теперь мы можем записать оптимальное отношение количества первого и второго блага:
(x₂/x₁) = (C₁/C₂)^(2/3)
Используя данную информацию о ценах первого блага, второго блага и доходе потребителя, мы можем вычислить оптимальное количество каждого блага:
1. Рассчитаем (C₁/C₂)^(2/3):
(C₁/C₂)^(2/3) = (3/4)^(2/3) ≈ 0.9031
2. Рассчитаем оптимальное количество первого блага (x₁):
x₁ = (M/(1 + (C₂/C₁)^(2/3))) = (1200/(1 + 0.9031)) ≈ 600.84
3. Рассчитаем оптимальное количество второго блага (x₂):
x₂ = (C₁/C₂)^(2/3) * x₁ ≈ 0.9031 * 600.84 ≈ 543.41
Таким образом, чтобы достичь максимального уровня полезности, потребителю следует покупать примерно 600.84 единиц первого блага и 543.41 единицы второго блага.