2.3. материальная точка движется со скоростью v=(i-2j+3k)*t . Вычислите модуль ускорения материальной точки. Написать формулу зависимости вектора ускорения от времени. 2.6. Частица движется со скоростью v=at(2i+3j+4k), где a=2,0 м/с^2 . Найти: а) модуль скорости частицы в момент времени t=3c ; б) ускорение частицы a и его модуль; в) путь, пройденный частицей с момента t1=3, 00c до момента t2=5, 00c .
2.9. Точка движется в плоскости так, что проекции ее скорости на оси прямоугольной системы координат равны Vx=6Пи*cos(2Пи*t), Vy=6Пи*sin(2Пи*t) . Вычислите величину тангенциального ускорения точки, соответствующую моменту времени t = 1/Пи с после старта.
Начнем с заданной формулы скорости: v = (i - 2j + 3k) * t.
Дифференцируем каждую компоненту вектора скорости по времени:
dv/dt = d/dt (i*t) - d/dt (2j*t) + d/dt (3k*t).
Вычислим производные:
dv/dt = (d/dt i)*t + i*(d/dt t) - (d/dt (2j))*t - 2j*(d/dt t) + (d/dt (3k))*t + 3k*(d/dt t).
Так как скорость является вектором, то производные по времени для компонент вектора i, j и k равны нулю:
dv/dt = 0*i + i - 0*j - 2j + 0*k + 3k = i - 2j + 3k.
Теперь найдем модуль ускорения материальной точки:
|a| = √(a_x^2 + a_y^2 + a_z^2) = √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14.
Формула зависимости вектора ускорения от времени: a = i - 2j + 3k.
2.6. Для решения этого вопроса, нужно подставить значения в формулы и провести требуемые вычисления.
a) Модуль скорости частицы в момент времени t=3c можно найти, подставив значение t в формулу для скорости и вычислив модуль вектора скорости:
v = at(2i + 3j + 4k).
v = 2*3*(2i + 3j + 4k) = 6(2i + 3j + 4k).
|v| = √(6^2 + 6^2 + 6^2) = √(36 + 36 + 36) = √108 = 6√3.
Ответ: Модуль скорости частицы в момент времени t=3c равен 6√3 м/с.
б) Ускорение частицы a и его модуль можно найти, зная значение a и подставив его в формулу ускорения:
a = 2,0 м/с^2.
|a| = |2,0(2i + 3j + 4k)| = |4i + 6j + 8k|.
|a| = √(4^2 + 6^2 + 8^2) = √(16 + 36 + 64) = √116 = 2√29.
Ответ: Модуль ускорения частицы равен 2√29 м/с^2.
в) Для нахождения пути, пройденного частицей с момента t1=3,00c до момента t2=5,00c, нужно проинтегрировать скорость по времени на интервале от t1 до t2:
∫[t1, t2] v dt = ∫[3, 5] (at(2i + 3j + 4k)) dt =
= a∫[3, 5] (2ti + 3tj + 4tk) dt.
= a[(1/2)t^2*i + (3/2)t^2*j + 2t^2*k] |[3, 5]
= a[(1/2)*5^2*i + (3/2)*5^2*j + 2*5^2*k] - a[(1/2)*3^2*i + (3/2)*3^2*j + 2*3^2*k]
= a[25*i + 37.5*j + 50*k] - a[4.5*i + 20.25*j + 18*k]
= a[20.5*i + 17.25*j + 32*k].
Ответ: Путь, пройденный частицей с момента t1=3,00c до момента t2=5,00c равен 20.5 м*i + 17.25 м*j + 32 м*k.
2.9. Для вычисления величины тангенциального ускорения точки, нужно найти производную вектора скорости по времени.
Начнем с заданных проекций скорости: Vx = 6π*cos(2πt), Vy = 6π*sin(2πt).
Дифференцируем каждую компоненту вектора скорости по времени:
dv_x/dt = d/dt (6π*cos(2πt)),
dv_y/dt = d/dt (6π*sin(2πt)).
Используем дифференцирование функций вида f(t) = A*cos(Bt) и f(t) = A*sin(Bt):
dv_x/dt = -12π*sin(2πt)*2π,
dv_y/dt = 12π*cos(2πt)*2π.
Выполняем вычисления:
dv_x/dt = -24π^2*sin(2πt),
dv_y/dt = 24π^2*cos(2πt).
Вектор ускорения a в данный момент времени t = 1/Пи с после старта будет иметь следующие проекции на оси:
a_x = dv_x/dt = -24π^2*sin(2πt) = -24π^2*sin(2π(1/Пи)) = -24π^2*sin(2) ≈ -3.21 м/с^2,
a_y = dv_y/dt = 24π^2*cos(2πt) = 24π^2*cos(2π(1/Пи)) = 24π^2*cos(2) ≈ 20.94 м/с^2.
Так как вопрос просит вычислить величину тангенциального ускорения, найдем его модуль:
|a| = √(a_x^2 + a_y^2) = √((-3.21)^2 + (20.94)^2) ≈ √(10.3441 + 437.4936) ≈ √447.8377 ≈ 21.16 м/с^2.
Ответ: Величина тангенциального ускорения точки в момент времени t = 1/Пи с после старта составляет примерно 21.16 м/с^2.