А) Определить силы, с которыми действуют друг на друга вследствие тяготения два соприкасающихся свинцовых шара диаметром по 1 метру каждый. Плотность свинца 11300 кг/м3. Б) В свинцовом шаре радиусом R сделана сферическая полостть, поверхность которой касается поверхности шара и проходит через его центр. Масса шара М. С какой силой свинцовый шар будет притягивать маленький шарик массой m, находящийся на расстоянии d (d>R) от центра свинцового шара на прямой, соединяющей центры шара и полости со стороны полости?
B) Доказать, что сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную внутри Земли, будет прямопропорциональна расстоянию от чентра Земли, т.е. F=mgr/R_з, где r- расстояние точки от центра, R_з- радиус Земли. Плотность Земли считать постоянной.
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что любые два объекта с массами M1 и M2, находящиеся на расстоянии r друг от друга, притягиваются силой тяготения, равной:
F = G * (M1 * M2) / r^2
где F - сила тяготения, G - гравитационная постоянная (G = 6.67430 * 10^-11 м3/(кг * с^2)), M1 и M2 - массы объектов, r - расстояние между центрами объектов.
В данном случае массы шаров одинаковые, поэтому M1 = M2 = M. Радиус каждого шара равен половине диаметра, то есть R = 1 метр / 2 = 0.5 метра.
Таким образом, сила, с которой шары действуют друг на друга вследствие тяготения, может быть найдена через этот закон:
F = G * (M * M) / (2 * R)^2
B) Для определения силы, с которой свинцовый шар будет притягивать маленький шарик, находящийся на расстоянии d от центра шара, на прямой, соединяющей центры шара и полости от стороны полости, также используем закон всемирного тяготения Ньютона.
Формула для такой силы тяготения выглядит следующим образом:
F = G * (m * M) / (d + R)^2
где F - сила тяготения, G - гравитационная постоянная, m - масса маленького шарика, M - масса свинцового шара, d - расстояние между центрами шариков, R - радиус свинцового шара.
Доказательство прямой пропорциональности силы тяготения, действующей на материальную точку массой m, помещенную внутри Земли, и расстояния от центра Земли, можно провести следующим образом:
Внутри Земли можно представить любую точку массой m находящуюся на радиусе r от центра Земли и рассмотреть силу тяготения, действующую на эту точку.
Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, эта сила будет определяться так:
F = G * (m * M) / r^2
где F - сила тяготения, G - гравитационная постоянная, m - масса точки, M - масса Земли, r - расстояние от точки до центра.
Используя формулу для объема шара и плотность Земли, можем выразить массу Земли:
M = 4/3 * π * R^3 * p_з,
где p_з - плотность Земли, R_з - радиус Земли.
В результате, формула для силы тяготения будет преобразована следующим образом:
F = G * (m * 4/3 * π * R^3 * p_з) / r^2
Примечание: При доказательстве будет предполагаться, что плотность Земли постоянна.
Эта формула демонстрирует, что сила тяготения прямопропорциональна массе точки, плотности Земли, и обратнопропорциональна квадрату расстояния от центра точки до центра Земли.
Надеюсь, что данное пошаговое решение позволяет лучше понять задачу и найденные закономерности. Если возникнут еще вопросы - пишите!