Два пружинных маятника подвешены на одном стержне. Жесткости невесомых пружин 200 и 400 Н/м. Масса шарика прикрепленного к первой пружине, равна 800 г. Потянув за первый шарик, пружину растягивают, затем его отпускают, и маятник колеблется. Чему равна масса второго шарика, если он через некоторое время тоже начинает колебаться без внешнего воздействия.
1. Найдем период колебаний первого маятника, используя закон Гука и уравнение для периода колебаний пружинного маятника:
T = 2π√(m/k)
где T - период колебаний, m - масса шарика, k - жесткость пружины.
Для первого маятника с массой 800 г и жесткостью пружины 200 Н/м, период колебаний будет:
T1 = 2π√(0.8/(200)) ≈ 0.282 сек
2. Затем найдем собственную частоту колебаний первого маятника, используя формулу:
ω = 2π/T
где ω - собственная частота колебаний.
Для первого маятника:
ω1 = 2π/0.282 ≈ 22.35 рад/сек
3. Найдем собственную частоту колебаний второго маятника, используя закон сохранения энергии:
E1 = E2
где E - полная механическая энергия маятника, состоящая из кинетической энергии и потенциальной энергии пружины.
Полная механическая энергия маятника выражается формулой:
E = 1/2mv^2 + 1/2kx^2
где m - масса шарика, v - скорость шарика, k - жесткость пружины, x - амплитуда колебаний.
Мы можем игнорировать потери энергии, поэтому полная механическая энергия маятника остается постоянной.
Так как второй маятник начинает колебаться без внешнего воздействия, его полная механическая энергия также останется постоянной.
4. Значит, можем записать уравнение сохранения энергии для первого и второго маятников:
1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * k1 * x1^2 = 1/2 * m2 * v2^2 + 1/2 * k2 * x2^2
где m1 и m2 - массы первого и второго шариков, v1 и v2 - скорости первого и второго шариков, k1 и k2 - жесткости пружин первого и второго маятников, x1 и x2 - амплитуды колебаний первого и второго маятников.
5. Учитывая, что второй маятник начинает колебаться без внешнего воздействия, его скорость (v2) равна нулю.
Также, амплитуда колебаний второго маятника (x2) будет такой же, как и у первого маятника (x1).
6. Амплитуда колебаний пружины связывается с массой и жесткостью пружины следующим образом:
x = √(m/k)
где x - амплитуда колебаний, m - масса шарика, k - жесткость пружины.
Таким образом, у нас будет уравнение для первого и второго маятников:
1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * k1 * (√(m1/k1))^2 = 1/2 * m2 * 0 + 1/2 * k2 * (√(m2/k2))^2
упрощая, получаем:
1/2 * m1 * v1^2 + m1/2 = 1/2 * m2 * 0 + m2/2
m1 * v1^2 + m1 = m2
7. Из закона сохранения энергии следует, что полная масса системы равна сумме масс первого и второго шариков:
m1 + m2 = m
где m - исходная масса первого шарика.
Теперь, используя уравнение сохранения энергии, мы можем выразить массу второго шарика:
m2 = m - m1
8. Подставляем значения и решаем уравнение:
m2 = 0.8 - 0.8 ≈ 0 г
Ответ: Масса второго шарика равна 0 г.