Два сплошных цилиндра алюминиевый и свинцовый одинаковой массы и диаметра, плавают в вертикальном положении в ртути. Глубина погружения алюминиевого цилиндра к глубине погружения свинцового относятся как... А) 5/1
В) 3/2
С) 2/3
Д) 1/5
Е) 1
(Плотность свинца 11 400 кг/м³, алюминия 2 700 кг/м³, ртути 13 600 кг/м³, g = 9.8 м/с²)
Нужно полное решение!
1. Закон Архимеда: Под действием выталкивающей силы, равной весу вытесненной жидкости, тело плавает либо всплывает.
2. Равенство давлений: Давление внутри жидкости равно давлению на ее поверхности.
3. Зависимость давления от глубины: Давление в жидкости возрастает с глубиной на величину, пропорциональную плотности жидкости и ускорению свободного падения.
Давайте решим задачу.
Пусть масса цилиндра равна М, а его плотность равна П.
Так как цилиндры плавают в вертикальном положении, выталкивающая сила должна быть равна их весам. Поэтому:
А) Вес алюминиевого цилиндра: F1 = M * g
Б) Вес свинцового цилиндра: F2 = M * g
Согласно закону Архимеда, выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости. Поскольку цилиндры плавают в ртути, плотность ртути будет входить в выражение для выталкивающей силы в обоих случаях:
Выталкивающая сила для алюминиевого цилиндра: Fa = V1 * ртути * g
Выталкивающая сила для свинцового цилиндра: Fb = V2 * ртути * g
Здесь V1 и V2 – объемы цилиндров.
Объемы цилиндров можно выразить через их радиусы (R) и высоты (H). Так как цилиндры имеют одинаковые диаметры, их радиусы также будут одинаковыми. Поэтому объемы цилиндров будут пропорциональны квадратам их высот:
V1 = k * H1^2
V2 = k * H2^2
где k - коэффициент пропорциональности.
Теперь мы можем записать равенства для выталкивающей силы для каждого цилиндра:
Fa = k * H1^2 * ртути * g
Fb = k * H2^2 * ртути * g
Согласно закону Архимеда и равенству давлений, выталкивающая сила должна быть равна весу цилиндра:
Fa = M * g
Fb = M * g
Подставляя выражения для выталкивающей силы и веса цилиндра, получим:
k * H1^2 * ртути * g = M * g
k * H2^2 * ртути * g = M * g
Видим, что ускорение свободного падения (g) и плотность ртути (ртути) сократились.
Теперь мы можем сократить еще на M и g:
k * H1^2 * ртути = 1
k * H2^2 * ртути = 1
Поскольку в обеих выражениях стоит единица, мы можем приравнять их друг к другу:
k * H1^2 * ртути = k * H2^2 * ртути
k и ртути сокращаются:
H1^2 = H2^2
Затем избавимся от операции возведения в квадрат, извлекая корни:
H1 = H2
Таким образом, высоты погружения алюминиевого и свинцового цилиндров равны друг другу.
Ответ: Е) 1.