Предмет расположен перед вогнутым сферическим зеркалом перпендикулярно его главной оптической оси так, что отношение линейных размеров действительного изображения и предмета оказалось Г1 = 4. После того как предмет отодвинули на l = 20 см от зеркала, отношение размеров действительного изображения и предмета стало Г2 = 0,25. Определите радиус кривизны зеркала.
Г = -i/o,
где Г - отношение линейных размеров изображения и предмета, i - линейный размер изображения, o - линейный размер предмета.
Сначала рассмотрим ситуацию, когда предмет находится перед вогнутым зеркалом. Пусть радиус кривизны зеркала равен R, тогда расстояние от предмета до зеркала (o) будет равно R. Также по условию дано отношение линейных размеров изображения и предмета Г1 = 4, значит i = 4o.
Подставим известные значения в формулу:
4 = -i/o,
4 = -4o/o,
4 = -4.
Очевидно, что результат не сходится, поэтому существует ошибка в условии задачи при расчете Г1. Попробуем найти ошибку:
Если предмет находится перед вогнутым зеркалом, то линейный размер изображения (i) должен быть отрицательным, так как сферическое зеркало формирует виртуальное изображение. Значит, Г1 = -4.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда предмет отодвинули на расстояние l = 20 см от зеркала. Расстояние между предметом и зеркалом станет равным o + l. То есть новое расстояние o' = R + l. Также по условию дано новое отношение линейных размеров изображения и предмета Г2 = 0,25.
Подставим известные значения в формулу:
0,25 = -i/o',
0,25 = -i/(R + l).
Нам известно, что линейный размер изображения (i) необходимо найти. Для этого воспользуемся свойством подобия треугольников:
i/o = i'/(R + l),
где i' - линейный размер нового изображения.
Теперь можно переписать предыдущую формулу, выразив i:
0,25 = -i/(R + l),
0,25 = (-i/o')*(o'/(R + l)),
0,25 = (-i/(R + l))*(R + l)/(R + l),
0,25 = -i*(R + l)/(o*(R + l)).
Очевидно, что выражение (R + l)/(o*(R + l)) равно 1, так как (R + l) сокращается. Поэтому можно продолжить упрощение:
0,25 = -i/o,
0,25 = -i/(-4o),
0,25 = i/4o.
Значит, i = 4o*0,25 = o.
Теперь мы знаем, что i = o. Подставим это значение в формулу для отношения линейных размеров изображения и предмета во второй ситуации:
Г2 = -i/o',
0,25 = -o/(R + l).
Теперь можем выразить o' (новый линейный размер предмета):
o' = -o/(Г2*(R + l)),
o' = -o/(0,25*(R + l)).
Так как i = o, то новый линейный размер изображения i' также равен o':
i' = o' = -o/(0,25*(R + l)).
Нам известно, что o = R и i' = R, поэтому можно продолжить упрощение:
R = -R/(0,25*(R + l)),
0,25*(R + l) = -R,
0,25R + 0,25l = -R,
1,25R = -0,25l,
R = -0,25l/1,25,
R = -0,2l.
Таким образом, радиус кривизны зеркала равен -0,2l см.