Стальной шарик диаметром 4 см катится по двум кольцевым рельсам, расположенным в горизонтальной плоскости. Радиус кольца внешнего рельса 170 см. Определите, при какой наибольшей скорости шарик не сойдет с рельс, если расстояние между ними равно 20мм.
Шарик будет двигаться в круговом движении по рельсам. При этом на его движение будут влиять гравитационная сила и сила трения между шариком и рельсами.
Первым шагом мы определим центростремительную силу, которая держит шарик на рельсе. Центростремительная сила F центр = m * a цент, где m - масса шарика, а цент - центростремительное ускорение.
Ускорение центростремительного движения связано со скоростью и радиусом кривизны движения следующим образом: a цент = v^2 / r, где v - скорость шарика, r - радиус кривизны (в данном случае, радиус внешнего рельса).
Центростремительная сила также связана с ускорением центростремительного движения следующим образом: F цент = m * v^2 / r.
Теперь мы должны учесть силу трения между шариком и рельсами. Сила трения (F тр) определяется как произведение коэффициента трения (µ) на нормальную силу (F н), направленную по направлению нормали к рельсам. Нормальная сила равна весу шарика (F вес), направленному вниз. F вес = m * g, где g - ускорение свободного падения.
Сила трения (F тр) также может быть выражена как F тр = µ * F н = µ * m * g.
Так как нормальная сила равна силе веса, значение силы трения можно записать как F тр = µ * m * g = µ * F вес.
Теперь мы можем записать уравнение равновесия сил на вертикальной оси, чтобы определить условия, при которых шарик не оторвется от рельса. Сумма вертикальных сил равна нулю: F вес - F н = 0. Это означает, что сила веса шарика должна быть равна нормальной силе.
F вес = F н = m * g.
Мы можем заменить значение нормальной силы силой трения, записав: m * g = µ * F вес.
Теперь мы можем определить значение ускорения центростремительного движения, используя уравнение для равновесия вертикальных сил: a цент = g - µ * g.
Так как ускорение центростремительного движения равно v^2 / r, мы можем записать: v^2 / r = g - µ * g.
Теперь мы можем определить максимальную скорость, при которой шарик не сойдет с рельс.
v^2 / r = g - µ * g.
v^2 = (g - µ * g) * r.
v = √((g - µ * g) * r).
Осталось только подставить известные значения и рассчитать ответ.
Для данной задачи:
- Диаметр шарика: 4 см, следовательно, его радиус: r шарика = 2 см = 0,02 м.
- Радиус внешнего рельса: 170 см = 1,7 м.
- Расстояние между рельсами: 20 мм = 0,02 м.
- Коэффициент трения (µ) мы не знаем, поэтому предположим, что он составляет 0,1 (это означает, что коэффициент трения составляет 10%).
Теперь мы можем рассчитать максимальную скорость шарика:
v = √((g - µ * g) * r).
v = √((9,8 м/с^2 - 0,1 * 9,8 м/с^2) * 1,7 м).
v = √((9,8 м/с^2 * (1 - 0,1)) * 1,7 м).
v = √((9,8 м/с^2 * 0,9) * 1,7 м).
v = √(8,82 м^2/с^2 * 1,7 м).
v = √14,9534 м^3/с^4.
v ≈ 3,866 м/с.
Таким образом, шарик не сойдет с рельс, если его скорость не превышает примерно 3,866 м/с.