(Укр) Якою є відстань між кулями масою 100 кг кожна, якщо вони притягуються одна до одної із силою, що дорівнює 0,01 Н? (Рус) Какова расстояние между шарами массой 100 кг каждая, если они притягиваются друг к другу с силой, равной 0,01 Н?
Ясно, что наибольшую энергию налетающий шар передаст в том случае, когда он остановится. исходя из этого предположения из ЗСИ и ЗСЭ нетрудно получить, что m1/m2 = 1. но проверим это более строгим путем
введем параметр m1/m2 = x и найдем, при каком значении x доля энергии, которую отдает налетающий шар, максимальна
запишем систему из закона сохранения импульса и энергии:
m2 v0 = m2 v + m1 u m2 v0² = m2 v² + m1 u²
распишем разность квадратов во втором уравнении:
m2 v0 = m2 v + m1 u m2 (v0 - v) (v0 + v) = m1 u²
разделим второе уравнение на первое:
u = v0 + v
подставим полученное уравнение в изначальное уравнение ЗСИ:
m2 v0 = m2 v + m1 v0 + m1 v
v0 (m2 - m1) = v (m1 + m2)
v = v0 (m2 - m1)/(m1 + m2)
теперь найдем долю энергии, которую передает налетающий шар:
введем параметр m1/m2 = x и найдем, при каком значении x доля энергии, которую отдает налетающий шар, максимальна
запишем систему из закона сохранения импульса и энергии:
m2 v0 = m2 v + m1 u
m2 v0² = m2 v² + m1 u²
распишем разность квадратов во втором уравнении:
m2 v0 = m2 v + m1 u
m2 (v0 - v) (v0 + v) = m1 u²
разделим второе уравнение на первое:
u = v0 + v
подставим полученное уравнение в изначальное уравнение ЗСИ:
m2 v0 = m2 v + m1 v0 + m1 v
v0 (m2 - m1) = v (m1 + m2)
v = v0 (m2 - m1)/(m1 + m2)
теперь найдем долю энергии, которую передает налетающий шар:
w = (E2 - E1)/E1 = (E2/E1) - 1 = ((m2 - m1)/(m1 + m2))² - 1
вспомним про наш параметр x = m1/m2 и рассмотрим функцию w(x):
w(x) = ((1 - x)/(1 + x))² - 1
возьмем от нее производную:
w'(x) = 2 * ((1 - x)/(1 + x))' * ((1 - x)/(1 + x))
w'(x) = 2 * ((1 - x)/(1 + x)) * ((-1 - x - 1 + x)/(1+x)²)
w'(x) = 4 (x - 1)/(x + 1)³
налетающий шар отдаст наибольшую энергию при условии, что w'(x) = 0. это выполняется при x = 1
ч.т.д.
дано
Т=0 С
T1=100 C
L= 2.3*10^6 Дж/кг
C1=4200 Дж/кг*С
С2=2100 Дж/кг*С
λ = 3.4*10^5 Дж/кг
m2=150 г - можно не переводить в кг - на вычисления не влияет
Т2= -20 С
m1 -?
решение
по условию -лед полностью растаял-конечная температура процесса Т=0 С
Q1 =C2*m2*(T-T2) - лед нагревается - поглощает тепло
Q2 =λ*m2 - лед плавится - поглощает тепло
Q3 = - Lm1 - пар конденсируется - отдает тепло
Q4 =C1*m1*(T-T1) - вода остывает - отдает тепло
уравнение теплового баланса
Q1+Q2+Q3+Q4=0
C2*m2*(T-T2) + λ*m2 - Lm1 +C1*m1*(T-T1) = 0
m2 (C2*(T-T2) + λ) - m1 (L - C1*(T-T1) ) = 0
m2 (C2*(T-T2) + λ) = m1 (L - C1*(T-T1) )
m1 = m2 (C2*(T-T2) + λ) / (L - C1*(T-T1) )
m1 = 150 (2100(0-(-20))+3.4*10^5) / (2.3*10^6 -4200(0-100))= 21.066 =21 г