Вагон массой 20 т, движущийся по горизонтальному пути, догоняет другой вагон массой 3⋅104 кг и сцепляется с ним так, что дальше вагоны двигаются вместе. При этом сум­марная механическая энергия вагонов уменьшается на 6⋅103 Дж. Определить, на сколько перед сцеплением скорость догоняющего ва­гона была больше скорости более медленного вагона.

Дано:

m₁ = 20 т = 2*10⁴ кг

m₂ = 3*10⁴ кг

ΔE = 6*10³ Дж

υ₁ - υ₂ - ?

Закон сохранения импульса:

m₁υ₁ + m₂υ₂ = (m₁ + m₂)*υ

Изменение механической энергии:

ΔE = E₁ - E₂ = (Eп₁ + Eк₁ + Еп₂ + Ек₂) - (Еп₁₂ + Ек₁₂) = (0 + Eк₁ + 0 + Ек₂) - (0 + Ек₁₂) = Eк₁ + Ек₂ - Ек₁₂ = m₁υ₁²/2 + m₂υ₂²/2 - (m₁ + m₂)*υ²/2

Выражаем υ из ЗСИ:

υ = (m₁υ₁ + m₂υ₂)/(m₁ + m₂) - подставляем в выражение изменения механической энергии:

ΔE = m₁υ₁²/2 + m₂υ₂²/2 - (m₁ + m₂)*((m₁υ₁ + m₂υ₂)/(m₁ + m₂))²/2

ΔE = m₁υ₁²/2 + m₂υ₂²/2 - (m₁ + m₂)*(m₁υ₁ + m₂υ₂)²/(2(m₁ + m₂)²)

ΔE = m₁υ₁²/2 + m₂υ₂²/2 - (m₁²υ₁² + 2m₁m₂υ₁υ₂ + m₂²υ₂²)/(2(m₁ + m₂))

ΔE = ((m₁ + m₂)*m₁υ₁² + (m₁ + m₂)*m₂υ₂² - m₁²υ₁² - 2m₁m₂υ₁υ₂ - m₂²υ₂²)/(2(m₁ + m₂))

ΔE = (m₁²υ₁² + m₂*m₁υ₁² + m₁*m₂υ₂² + m₂²υ₂² - m₁²υ₁² - 2m₁m₂υ₁υ₂ - m₂²υ₂²)/(2(m₁ + m₂))

ΔE = m₁*m₂*(υ₁² + υ₂² - 2υ₁υ₂)/(2(m₁ + m₂))

ΔE = m₁*m₂*(υ₁ - υ₂)²/(2(m₁ + m₂)) = (υ₁ - υ₂)²*(m₁*m₂/(2(m₁ + m₂))) =>

=> (υ₁ - υ₂)² = ΔE : (m₁*m₂/(2(m₁ + m₂))) = ΔE*2(m₁ + m₂)/(m₁*m₂) =>

=> υ₁ - υ₂ = √(ΔE*2(m₁ + m₂)/(m₁*m₂)) = √(6*10³*2*(2*10⁴ + 3*10⁴)/(2*10⁴*3*10⁴)) = √(6*10³*2*10⁴*(2 + 3)/(6*10⁴*10⁴)) = √(6*10³*2*10⁴*5/(6*10⁴*10⁴)) = √(6*10⁴*10⁴/(6*10⁴*10⁴)) = √1 = 1 м/с

ответ: 1 м/с.