Итак, рисунок готов. Задача совсем простая, сейчас увидите, почему. По условию нам дана прямая призма. А что это? Это призма, боковые рёбра которой перпендикулярны плоскости оснований. Требуется найти площадь полной поверхности призмы при всех известных данных. Как же это сделать? Вы уже знаете, что площадь боковой поверхности многогранника - это сумма площадей лишь боковых граней многогранника. Тогда по названию площади полной поверхности нетрудно догадаться, что это сумма площадей ВСЕХ граней многогранника. Вот нам и надо найти эту сумму. Все грани призмы - прямоугольники, площадь их считается одинаково - это произведение его смежных сторон. Кстати сказать, мы уже знаем все эти стороны! Самое время посчитать площадь. Нам надо найти сумму площадей всех 6 граней призмы. Начнём с оснований. 1)S1 = 6 * 5.5 = 33 см^2 Кстати сказать, площадь S1 имеют оба основания, поскольку это равные прямоугольники. 2)Посчитаем площадь прямоугольника передней грани, она равна площади прямоугольника задней грани(это равные прямоугольники): S2 = 12 * 6 = 72 см^2 3)Посчитаем площадь боковой грани призмы(аналогично, оба параллельных прямоугольника равны): S3 = 12 * 5.5 = 66 Тогда Sп = 2S1 + 2S2 + 2S3 = 2(S1 + S2 + S3) = 2(33 + 72 + 66) = 2 * 171 = 342 см^2. Это и есть площадь полной поверхности.
Для начала приложу рисунок к задаче, чтобы лучше понимать суть решения. Задача по сути простая, но объяснений будет много, поскольку упоминается много различных понятий. Посмотрим на примере задачи, как их увязать в одно целое. Итак, рисунок готов.
1)Прежде чем решать задачу, необходимо понять, о чём идёт речь в условии и всё ли мы понимаем. Думаю, насчёт того, что такое пирамида и что такое прямоугольный треугольник, всё ясно. Сделаем рисунок. Прежде всего отмечу, что пирамида не является правильной - это был бы слишком хороший подарок. А вот какая пирамида у нас? Правильно - произвольная. Но вот в этом и есть основная сложность. Ведь если, скажем, у нас дана правильная пирамида, то я знаю о ней довольно много: и что в основании лежит правильный многоугольник, и что вершина пирамиды проецируется в центр основания. Это всё позволяет без труда решать задачи. А вот что здесь? Наверное, первый вопрос, который я хочу прояснить - куда попадёт высота пирамиды? На какую-то точку основания или же промахнётся мимо основания? Это хороший вопрос, потому что существует одна очень важная теорема: если все двугранные углы пирамиды при основании равны, то её вершина проецируется в центр ВПИСАННОЙ окружности основания(на самом деле, это совсем неочевидно, и это надо доказывать. Если появится интерес, обратись ко мне, я покажу, как это сделать) Смотрим в условие - у нас тот самый случай. Значит, говорим мы, вершина пирамиды спроецируется в центр вписанной в треугольник окружности. А вот ещё один вопрос по планиметрии: а где находится эта самая точка? Мы помним, что центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника. Значит, проводим в треугольнике ABC биссектрисы CM и AN, они пересекаются в некоторой точке O(двух биссектрис достаточно, так как третья просто пройдёт через точку O). Точка O - центр вписанной в треугольник окружности. Тогда SO - высота пирамиды. 2)Когда мы более менее изобразили на чертеже базовые вещи, пора перейти к тому, что нам требуется найти. Нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. А это что такое? А всё просто - это просто сумма площадей всех боковых граней пирамиды(у нас это три треугольника). Значит, нам надо найти площади трёх боковых треугольников, и сложить их площади. Получим ответ задачи.
3)Приступим. Для начала я хочу построить эти самые углы между плоскостями, о которых идёт речь в задаче. Вспомним определение угла между плоскостями. Это угол между перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведёнными в этих плоскостях. Иными словами, находим линию пересечения плоскостей, затем берём на ней удобную для нас точку, и в каждой плоскости проводим перпендикуляры к этой линии. Угол между этими перпендикулярами и есть угол между плоскостями. Как применить это определение к нашей задаче? Построим угол между плоскостями SAC и BAC. Находим их линию пересечения - это AC. Теперь в плоскости ABC проведём к AC перпендикуляр - это OH. Кстати сказать, OH - ещё и радиус вписанной в треугольник окружности. Почему?Потому что окружность касается AC, а радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Так что, OH = 3. Теперь в плоскости ASC проведём SH. Докажем, что SH перпендикулярен AC. Замечаем, что AC лежит в плоскости основания, OH - проекция SH на плоскость основания AC перп OH - по построению, значит, в силу теоремы о трёх перпендикулярах SH перп AC. таким образом, мы провели к линии пересечения плоскостей два перпендикуляра, угол между ними и есть угол между плоскостями. То есть, <SHO - и есть тот самый угол, поэтому <SHO = 45 градусам. Совершенно аналогично я строю двугранные углы между другими гранями: <SH1O = 45 градусам, <SH2O = 45 градусам.
4)Теперь найдём все стороны прямоугольного треугольника в основании. <ABC = 60 градусам, тогда <BAC = 30 градусам. Катет лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Пусть C = x, тогда AB = 2x. Найдём AC по теореме Пифагора AC^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2 AC = xsqrt3 Существует формула, связывающая стороны прямоугольного треугольника с радиусом вписанной в него окружности r = (a+b-c)/2, где r - радиус вписанной окружности, a,b - катеты, c - гипотенуза. Подставляем, решаем уравнение, находим x: (x + xsqrt3 - 2x)/2 = 3 (xsqrt3 - x) = 6 x(sqrt3 - 1) = 6 x = 6/(sqrt3 - 1) = BC Тогда AB = 2x = 12/(sqrt3 - 1), а AC = 6sqrt3/(sqrt3 - 1) Таким образом, я нашёл все стороны основания, но и ещё основания всех трёх боковых треугольников. Найдём их высоты, тогда можно будет найти их площади.
5)Для этого рассмотрю три прямоугольных треугольника SOH, SOH1 и SOH2. Они, очевидно, равны по двум катетам(катет SO - общий, OH = OH1 = OH2 = 3 - радиусы вписанной окружности). Из равенства этих треугольников вытекает, что высоты всех трёх треугольников равны, то есть SH = SH1 = SH2.
По условию нам дана прямая призма. А что это? Это призма, боковые рёбра которой перпендикулярны плоскости оснований. Требуется найти площадь полной поверхности призмы при всех известных данных. Как же это сделать?
Вы уже знаете, что площадь боковой поверхности многогранника - это сумма площадей лишь боковых граней многогранника. Тогда по названию площади полной поверхности нетрудно догадаться, что это сумма площадей ВСЕХ граней многогранника. Вот нам и надо найти эту сумму.
Все грани призмы - прямоугольники, площадь их считается одинаково - это произведение его смежных сторон. Кстати сказать, мы уже знаем все эти стороны! Самое время посчитать площадь.
Нам надо найти сумму площадей всех 6 граней призмы. Начнём с оснований.
1)S1 = 6 * 5.5 = 33 см^2
Кстати сказать, площадь S1 имеют оба основания, поскольку это равные прямоугольники.
2)Посчитаем площадь прямоугольника передней грани, она равна площади прямоугольника задней грани(это равные прямоугольники):
S2 = 12 * 6 = 72 см^2
3)Посчитаем площадь боковой грани призмы(аналогично, оба параллельных прямоугольника равны):
S3 = 12 * 5.5 = 66
Тогда Sп = 2S1 + 2S2 + 2S3 = 2(S1 + S2 + S3) = 2(33 + 72 + 66) = 2 * 171 = 342 см^2.
Это и есть площадь полной поверхности.
1)Прежде чем решать задачу, необходимо понять, о чём идёт речь в условии и всё ли мы понимаем. Думаю, насчёт того, что такое пирамида и что такое прямоугольный треугольник, всё ясно. Сделаем рисунок. Прежде всего отмечу, что пирамида не является правильной - это был бы слишком хороший подарок. А вот какая пирамида у нас? Правильно - произвольная. Но вот в этом и есть основная сложность. Ведь если, скажем, у нас дана правильная пирамида, то я знаю о ней довольно много: и что в основании лежит правильный многоугольник, и что вершина пирамиды проецируется в центр основания. Это всё позволяет без труда решать задачи. А вот что здесь? Наверное, первый вопрос, который я хочу прояснить - куда попадёт высота пирамиды? На какую-то точку основания или же промахнётся мимо основания? Это хороший вопрос, потому что существует одна очень важная теорема: если все двугранные углы пирамиды при основании равны, то её вершина проецируется в центр ВПИСАННОЙ окружности основания(на самом деле, это совсем неочевидно, и это надо доказывать. Если появится интерес, обратись ко мне, я покажу, как это сделать) Смотрим в условие - у нас тот самый случай. Значит, говорим мы, вершина пирамиды спроецируется в центр вписанной в треугольник окружности. А вот ещё один вопрос по планиметрии: а где находится эта самая точка? Мы помним, что центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника. Значит, проводим в треугольнике ABC биссектрисы CM и AN, они пересекаются в некоторой точке O(двух биссектрис достаточно, так как третья просто пройдёт через точку O). Точка O - центр вписанной в треугольник окружности. Тогда SO - высота пирамиды.
2)Когда мы более менее изобразили на чертеже базовые вещи, пора перейти к тому, что нам требуется найти. Нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. А это что такое? А всё просто - это просто сумма площадей всех боковых граней пирамиды(у нас это три треугольника). Значит, нам надо найти площади трёх боковых треугольников, и сложить их площади. Получим ответ задачи.
3)Приступим. Для начала я хочу построить эти самые углы между плоскостями, о которых идёт речь в задаче. Вспомним определение угла между плоскостями. Это угол между перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведёнными в этих плоскостях. Иными словами, находим линию пересечения плоскостей, затем берём на ней удобную для нас точку, и в каждой плоскости проводим перпендикуляры к этой линии. Угол между этими перпендикулярами и есть угол между плоскостями. Как применить это определение к нашей задаче?
Построим угол между плоскостями SAC и BAC. Находим их линию пересечения - это AC. Теперь в плоскости ABC проведём к AC перпендикуляр - это OH. Кстати сказать, OH - ещё и радиус вписанной в треугольник окружности. Почему?Потому что окружность касается AC, а радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Так что, OH = 3. Теперь в плоскости ASC проведём SH. Докажем, что SH перпендикулярен AC. Замечаем, что AC лежит в плоскости основания, OH - проекция SH на плоскость основания AC перп OH - по построению, значит, в силу теоремы о трёх перпендикулярах SH перп AC. таким образом, мы провели к линии пересечения плоскостей два перпендикуляра, угол между ними и есть угол между плоскостями. То есть, <SHO - и есть тот самый угол, поэтому <SHO = 45 градусам.
Совершенно аналогично я строю двугранные углы между другими гранями:
<SH1O = 45 градусам, <SH2O = 45 градусам.
4)Теперь найдём все стороны прямоугольного треугольника в основании. <ABC = 60 градусам, тогда <BAC = 30 градусам. Катет лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Пусть C = x, тогда AB = 2x. Найдём AC по теореме Пифагора
AC^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2
AC = xsqrt3
Существует формула, связывающая стороны прямоугольного треугольника с радиусом вписанной в него окружности
r = (a+b-c)/2, где r - радиус вписанной окружности, a,b - катеты, c - гипотенуза. Подставляем, решаем уравнение, находим x:
(x + xsqrt3 - 2x)/2 = 3
(xsqrt3 - x) = 6
x(sqrt3 - 1) = 6
x = 6/(sqrt3 - 1) = BC
Тогда AB = 2x = 12/(sqrt3 - 1), а AC = 6sqrt3/(sqrt3 - 1)
Таким образом, я нашёл все стороны основания, но и ещё основания всех трёх боковых треугольников. Найдём их высоты, тогда можно будет найти их площади.
5)Для этого рассмотрю три прямоугольных треугольника SOH, SOH1 и SOH2. Они, очевидно, равны по двум катетам(катет SO - общий, OH = OH1 = OH2 = 3 - радиусы вписанной окружности). Из равенства этих треугольников вытекает, что высоты всех трёх треугольников равны, то есть SH = SH1 = SH2.