1.
ABC
— равносторонний треугольник, точки
M
,
N
и
K
— серединные точки сторон. Площадь треугольника
MNK
равна 5 кв. ед. изм.

Определи площадь четырёхугольника
MNKB
: кв. ед. изм.

Хорда АВ, диаметр АД, О -центр, проводим радиус ОВ, треугольник АВО раносторонний, АВ=ОА=ОВ=радиусу, все углы в треугольнике =60

№2

дуга ВС = дуга АВ-дуга АС=125-52 =73, угол ВАС=1/2 дуги ВС=73/2=36 град 30 мин

хорда АВ ближе к центру

№3

проводим радиус ОВ перпендикулярный АВ в точку В, ОВ=15, АО=17, треугольник АОВ прямоугольный, АВ= корень(АО в квадрате - ОВ в квадрате) = корень(289-225)=8

№4

дугаАВ+дугаВС+дугаАС =360, 7+5+6=360, 18 частей =360, 1 часть =360/18=20

дугаАВ=7 х 20 =140,  угол АОВ центральный = дугеАВ =140

дуга ВС =5 х 20 =100, угол ВАС вписанный=1/2 дуги ВС = 100/2=50

дуга АС = 6 х 20 =120, угол АВС вписанный = 1/2 дуги АС= 120/2=60

№5

АВ - диаметр = 10+10=20, СД хорда , СМ=4, МД=9

АМ х МВ = СМ х МД, АМ = а, МВ = 20-а

а х (20-а) = 4 х 9, 20а - а в квадрате=36, а в квадрате - 20а + 36 =0

а= (20+-корень(400 - (4 х 36))/2

а =(20+- 16)/2

а1 = 18

а2=2

а = АМ =2

МВ=20-2=18

№6

треугольник АВС, АВ=ВС=15, АС = 18

площадь = корень (p x (p-a) x (p-b) x (p-c)). где р - полупериметр, остальное стороны

полупериметр = (15+15+18)/2=24

площадь = корень (24 х (24-15) х (24-15) х (24-18) = корень  11664 = 108

радиус вписанной окружности = площадь / полупериметр = 108/24=4,5

радиус описанной окружности= произведение сторон / 4 х площадь =

=15 х 15 х 18 / 4 х 108 = 4050/432=9,375

Объяснение:

ЗАДАЧА 6

ДАНО: ∆АВС прямоугольный, <С=90°, <А=60°, АС=4

НАЙТИ: АВ

РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому <В=90–60=30°

Катет АС, лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ=2×4=8

ОТВЕТ: АВ=8

ЗАДАЧА 7

ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, АС=ВС, СД=6

НАЙТИ: АВ

Если АС=ВС, то этот треугольник равнобедренный, а высота СД, проведённая из вершины прямого угла также является медианой и биссектрисой, а медиана, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому СД=½АВ или АВ =2СД=2×6=12

ОТВЕТ: АВ=12

ЗАДАЧА 8

ДАНО: ∆ АВС - прямоугольный, <А:<В=2:1, АВ=14, <С=90°

НАЙТИ: АС

РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°. Обозначим пропорции 2:1 как 2х и х и составим уравнение:

2х+х=90

3х=90

х=90÷3=30°

Итак: угол В=30°, тогда угол А=2×30=60°

Так как АС лежит напротив угла 30°, то АС=½АВ=½×14=7

ОТВЕТ: АС=7

ЗАДАЧА 9

ДАНО: ∆АВС прямоугольный: <С=90°, АС=ВС=10, АМ=СМ, МР перпендикулярно АС.

НАЙТИ: МР

РЕШЕНИЕ: МР делит катет АС пополам, поэтому АМ=СМ=10÷2=5.

МР является средней линией ∆АВС и если МР перпендикулярно АС, тогда он будет параллелен ВС. По свойствам средней линии треугольника МР=½ВС=½×10=5.

Можно также использовать средней линии, так как она является средней линией в равнобедренном треугольнике, а наш треугольник АВС именно равнобедренный, то МР отсекает от ∆АВС треугольник АРМ подобный ∆АВС. Поэтому ∆АРМ также является равнобедренным, у которого катеты АМ=РМ=5

ЗАДАЧА 10

ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, <А=30°, ВК - биссектриса <В=8

НАЙТИ: АС

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то <В в ∆АВС=90–30=60°. Поскольку ВК - биссектриса, то она делит <В пополам поэтому <СВК=<АВК=60÷2=30°

Рассмотрим ∆АВК. В нём <АВК=<А=30°, из чего следует что ∆АВК - равнобедренный, поэтому ВК=АК=8

Рассмотрим ∆СВК. Он прямоугольный, и ВС и СК - катеты, а ВК - гипотенуза. В нём <СВК=30°, а катет СК, лежащий напротив него равен половине гипотенузы ВК, поэтому СК=½×ВК=8÷2=4

Итак: АК=8, СК=4.

Тогда АС=СК+АК=4+8=12

ОТВЕТ: АС=12