1. Дан куб АВСД А1В1С1Д1 с ребром 4. Вычислите скалярное произведение векторов А1В и АД1.

2. Даны три вектора a (3; - 2; 1), b (-1; 1; - 2), c (2; 1; - 3). Тогда сумма коэффициентов разложения вектора d (11; - 6; 5) по векторам a, b, c равна?

3.АВСД - правильный тетраэдр. А (4; 0; 0), С (-1; 0; 0). Найдите сумму квадратов координат вершины В, если аппликата точки В равна 0, а все координаты точки Д положительны.

Какие это могут быть четырехугольники? Если диагонали равны, то это либо квадрат, либо прямоугольник или равнобедренная трапеция. Так как длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон 10 и 18, т.е. разные, то это прямоугольник или трапеция. Если прямоугольник, то стороны его равны как раз 10 и 18. Тогда его площадь 180. Если это трапеция, то один из отрезков - это ее высота, другой - средняя линия. А так как площадь трапеции равна  произведению полусуммы оснований на высоту и средняя линия равна полусумме основний, то площадь трапеции  в любом случае равна 10*18=180  

Если мы соединим середины не противоположных, а соседних сторон, то получим РОМБ. Ну в самом деле, противоположные стороны являются средними линиями в треугольниках, на которые каждая диагональ делит исходный четырехугольник. Поэтому они равны и параллельны, и равны между собой, раз диагонали равны. Легко увидеть и то, что площадь этого ромба равна половине площади исходного четырехугольника

(если это не понятно, рассмотрите треугольники, отрезанные сторонами ромба от исходного четырехугольника. Каждый из них составляет 1/4 от площади треугольника, образованного диагональю и 2 сторонами, середины которых соединяет сторона ромба. Суммы площадей таких треугольников у противоположных вершин составляют 1/4 от площади ВСЕГО исходника, а пар вершин у нас 2 :)) то есть стороны ромба отсекают 1/2 площади исходника, ну, значит на сам ромб приходится тоже половина).

А отрезки 10 и 18 - диагонали ромба. То есть они взаимно перпендикулярны, площадь ромба равна 10*18/2, а площадь исходного четырехугольника равна 10*18 = 180.