1. Дана величина угла вершины ∡ N равнобедренного треугольника RNG. Определи величины углов, прилежащих к основанию.

∡ N= 109°;

∡ R=
°;

∡ G=
°.

2. Величина одного из прилежащих к основанию углов равнобедренного треугольника — 52°. Определи величину угла вершины этого треугольника.

ответ:
°.

1) По теореме Менелая

BK/KA *AO/ON *NC/CB =1

2/3 *AO/ON *2/5 =1

AO/ON =15/4

2) Треугольники, образованные диагоналями на основаниях трапеции, подобны (по накрест лежащим углам при параллельных). Правильные треугольники очевидно подобны. Таким образом синий и красный четырехугольники подобны. Отрезки от вершин до точки пересечения диагоналей являются соответствующими в подобных фигурах и составляют равные углы с соответствующими сторонами. Отрезки отложены от диагонали на равные углы и составляют развернутый угол, то есть прямую.

Так как внешний угол равен 120 градусов, то смежный с ним внутренний угол равен 30 градусов. Второй острый угол прямоугольного треугольника равен 90-30=60 градусов. По следствию из теоремы синусов, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Значит, меньший катет треугольника лежит против угла в 30 градусов. Пусть меньший катет равен х см, тогда гипотенуза равна (х+15) см. По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника, синус того угла, который равен 30 градусов, равен х/(х+15) (противолежащий катет разделить на гипотенузу), но мы знаем, что синус 30 градусов равен 1/2. Получаем уравнение x/(x+15)=1/2; 2x=x+15; x=15. Т.е. меньший катет равен 15 см, а гипотенуза равна 15+15=30 см.

ответ: длина гипотенузы равна 30 см.