1. докажите что точки а(1;1;2) в(4;5;-8) с(2;-1;0) и d(-1;-5;10) являются вершинами параллелограмма.
2. даны точки а(2;-8;1), в,(-7;10;-8), с(-8;0;-10), D(-9;8;7) найдите: а) угол между векторами AB и AC б) расстояние между серединами отрезков AB и CD
Мне очень понравился коротенький документ в предыдущем решении, я вдохновился :) и сделал свой вариант. Пусть начало координат находится в центре основания, а вершины лежат в точках А(1,0,0) B(0,-1,0) C(-1,0,0) D(0,1,0) S(0,0,1); ребра такой пирамиды равны √2, а не 1, но угол между плоскостями от этого не зависит. Плоскость SAD отсекает на осях отрезки (ориентированные) 1,1,1, поэтому её уравнение x + y + z = 1; перпендикулярный этой плоскости вектор (1,1,1). Для плоскости BCF известно, что она отсекает на оси X отрезок -1 и на оси Y тоже. Осталось выяснить, через какую точку на оси Z она проходит. В треугольнике BSD BF и SO – медианы, поэтому точка их пересечения отсекает от SO отрезок SO/3 = 1/3, и BF принадлежит плоскости BCF, то есть эта плоскость проходит через точку (0,0,1/3). Отсюда уравнение плоскости BCF: -x - y + 3z = 1; перпендикулярный ей вектор (-1,-1, 3); Угол между векторами (1,1,1) и (-1,-1,3) и есть искомый угол. Модули векторов √3 и √11; скалярное произведение (-1 -1 + 3) =1; поэтому косинус угла равен 1/√33;
Примечание Если известно, что плоскость проходит через точки (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c), то уравнение плоскости x/a + y/b + z/c = 1; доказать это элементарно, достаточно убедиться, что все три точки удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость. Это называется уравнение плоскости "в отрезках".
1. Равнобедренный треугольник - треугольник, у которо две стороны равны.
У такого треугольника углы при основании равны.
Биссектриса угла - это луч, делящий данный угол пополам.
Построение биссектрисы угла: 1) берем произвольный раствор циркуля и описываем дугу с центром в вершине угла так, чтобы она пересекала стороны угла 2) этим же раствором проводим дуги с вершиной в точках пересечения исходной дуги со сторонами. Через точку, где эти две новые дуги пересеклись, проводим прямую, которая прохдит и через вершину угла. Полученная прямая и будет биссектрисой угла.
Пусть меньший смежный угол равен х. Тогда другой будет равен 5х. По теореме о сумме смежных углов, получаем:
.
Мы нашли меньший угол. Теперь найдем больший: ответ: 30, 150.
Пусть начало координат находится в центре основания, а вершины лежат в точках
А(1,0,0) B(0,-1,0) C(-1,0,0) D(0,1,0) S(0,0,1); ребра такой пирамиды равны √2, а не 1, но угол между плоскостями от этого не зависит.
Плоскость SAD отсекает на осях отрезки (ориентированные) 1,1,1, поэтому её уравнение x + y + z = 1; перпендикулярный этой плоскости вектор (1,1,1).
Для плоскости BCF известно, что она отсекает на оси X отрезок -1 и на оси Y тоже. Осталось выяснить, через какую точку на оси Z она проходит.
В треугольнике BSD BF и SO – медианы, поэтому точка их пересечения отсекает от SO отрезок SO/3 = 1/3, и BF принадлежит плоскости BCF, то есть эта плоскость проходит через точку (0,0,1/3).
Отсюда уравнение плоскости BCF: -x - y + 3z = 1; перпендикулярный ей вектор (-1,-1, 3);
Угол между векторами (1,1,1) и (-1,-1,3) и есть искомый угол.
Модули векторов √3 и √11; скалярное произведение (-1 -1 + 3) =1;
поэтому косинус угла равен 1/√33;
Примечание
Если известно, что плоскость проходит через точки (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c), то уравнение плоскости x/a + y/b + z/c = 1; доказать это элементарно, достаточно убедиться, что все три точки удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость. Это называется уравнение плоскости "в отрезках".
1. Равнобедренный треугольник - треугольник, у которо две стороны равны.
У такого треугольника углы при основании равны.
Биссектриса угла - это луч, делящий данный угол пополам.
Построение биссектрисы угла: 1) берем произвольный раствор циркуля и описываем дугу с центром в вершине угла так, чтобы она пересекала стороны угла
2) этим же раствором проводим дуги с вершиной в точках пересечения исходной дуги со сторонами. Через точку, где эти две новые дуги пересеклись, проводим прямую, которая прохдит и через вершину угла. Полученная прямая и будет биссектрисой угла.
Пусть меньший смежный угол равен х. Тогда другой будет равен 5х. По теореме о сумме смежных углов, получаем:
.
Мы нашли меньший угол. Теперь найдем больший:
ответ: 30, 150.