1. Плоскости аир пересекаются по прямой р. В плоскости Влежат точки МиК, причем прямая МК не параллельна прямой р, а в плоскости а
лежит тоска О. Постройте линии пересечения плоскостей а и в с
плоскостью (мко).
2. Луч BA пересекает параллельные плоскости аир в точках А, и А2, а луч
Вс - в точках Си С2 соответственно. Вычислите длину отрезка А.С.,
если BA1=12дм, AA2=6 и AC=8.
3. Треугольник ABK и трапеция ABMP с основаниями AB и МР имеют
общую сторону и не лежат в одной плоскости. Точки Ои С середины
сторон Ами МВ соответственно. Докажите, что прямые СО и ВМ
скрещиваются и найдите угол между ними, если угол М равен 40°.
4. В тетраэдре DABC точка M – середина ребра AB, точка N лежит на
ребре BD и делит его в отношении 5:1, считая от точки Ви точка к
лежит на ребре CD и делит его в отношении 1:3, считая от точки С.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью (MNK).
КМ = √(NK² + NM² - 2·NK·NM·cos60°) = √(64 + 225 - 2·8·15·0,5)
KM = √(289 - 120) = √169 = 13 см
Pkmn = 8 + 15 + 13 = 36 см
Skmn = 1/2 · NM · NK · sin60° = 1/2 · 8 · 15 · √3/2 = 30√3 см²
2. ∠С = 45° + 60° = 105°
∠B = 180° - 45° - 105° = 30°
По теореме синусов:
AC : sin∠B = BC : sin ∠A
AC = BC · sin30° / sin45° = 3√2 · 1/2 / (√2/2) = 3 см
3. Пусть х - коэффициент пропорциональности.
АВ = 4х, ВС = 7х.
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:
(AB² + BC²) · 2 = AC² + BD²
(16x² + 49x²) · 2 = 324 + 196
65x² · 2 = 520
x² = 4
x = 2 (x = - 2 не подходит по смыслу задачи)
АВ = 4 · 2 = 8 см
ВС = 7 · 2 = 14 см
Pabcd = (AB + BC) · 2 = (8 + 14) · 2 = 44 см
4. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 7, 24 и 25 см прямоугольный:
25² = 7² + 24²
625 = 49 + 576
625 = 625
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы:
R = AB/2 = 25/2 = 12,5 см
r = p - AB, где р - полупериметр.
р = (7 + 24 + 25)/2 = 56/2 = 28 см
r = 28 - 25 = 3 см
Объём воды в сосуде находится по формуле:
V=Sосн.*h- где S - площадь основания; h- уровень воды
Из первой формулы h=V : Sосн. S=πR² или: h=V/ πR²
Если перелить воду в другой сосуд у которого радиус меньше в 2 раза (R/2)
уровень воды равен: h=V : π*(R/2)²=V : π* R²/4=4V/ πR²
Вычислим во сколько раз увеличится уровень воды при переливании воды в другой сосуд:
4V/ πR² : V/πR²=4V* πR²/πR²*V=4 (раза)
Отсюда уровень воды, равный 15см в другом сосуде увеличится в 4 раза, следовательно в другом сосуде он будет:
15см*4=60см
ответ: Уровень воды в другом сосуде составит 60см