1) Плоскости альфа и бетта пересекаются по прямой L. Прямые L и а пересекаются, а прямые L и b параллельны. Определите, могут ли прямые а и в: а) лежать в одной из плоскостей;
б) лежать в разных плоскостях альфа и бетта;
в) пересекать плоскости альфа и бетта. В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых а и b.

2. Плоскость а проходит через сторону AС треугольника ABC. Прямая пересекает стороны АВ и ВС данного треугольника в точках М и N соответственно, причем BN: C=2:3, AM: AB = 3:5.
а) Докажите, что MN || альфа.
б) Найдите MN, если AC = 30 см.

3. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми AB и CD, если AB = CD=6 см, а расстояние между серединами отрезков AD и BC=3 см.

Объяснение:

Прямая а может пересекать обе плоскости, если не лежит ни в одной из них (рис. 1) Прямая а может лежать в одной из плоскостей (например, на рис. 2 в плоскости β), тогда другую плоскость она пересекает. Прямая b может не лежать ни в одной из плоскостей, тогда она параллельна каждой. (рис. 3) Прямая b может лежать в одной плоскости (например, на рис. 4 в β), тогда она параллельна другой плоскости. Но пересекать плоскости прямая b не может. Взаимное расположение прямых а и b однозначно определить нельзя. Они могут быть скрещивающимися или пересекаться. Но не могут быть параллельны. 2. Любые три точки, не лежащие на одной прямой, задают единственную плоскость. Пусть точки А, В и С лежат в одной плоскости. АВ⊂α, DC∩α = C, C∉AB ⇒ АВ и CD - скрещивающиеся. К - середина AD, Р - середина СВ. КР = 3 см. Проведем КТ║АВ и ТР║CD. Тогда угол между прямыми КТ и ТР будет равен углу между прямыми АВ и CD. КТ - средняя линия ΔABD ⇒ КТ = АВ/2 = 3 см ТР - средняя линия ΔСBD ⇒ ТР = CD/2 = 3 см ΔКТР равносторонний, значит ∠КТР = 60°, значит и угол между прямыми АВ и CD равен 60°