1. Прямые АВ и КМ пересекаются в точке О. Угол АОК равен 105°. Будут ли прямые АВ и КМ перпендикулярными? Выберите правильный ответ. *

Не всегда
Нет
Да

Задание #1.Дано:

AD пересекает BC = K;

AK = KD;

BK = KC;

Доказать:

AB || CD.

Доказательство:

AK = KD (по условию); |

BK = KC (по условию); |=> △AKB = △CKD (по I признаку).

∠АКВ = ∠CKD, они вертикальные |

Из этого следует, что накрест лежащие ∠KAB = ∠KDC => AB || CD.

Что и требовалось доказать!Задание #2 (рисунок в файле):Дано:

△ABC - равнобедренный;

BD - биссектриса;

∠CKO = 110˚;

DM = DK;

O ∈ BD;

M ∈ AD;

K ∈ CD.

Найти:

∠MOD = ?˚.

Решение:

∠CKO + ∠OKD = 180˚, т.к. они смежные => ∠OKD = 180˚ - 110˚ = 70˚.

Биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и медианой и высотой.

=> ∠BDC = ∠BDA = 90˚ => △ODK и △ODM - прямоугольные.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

=> ∠DOK = 180˚ - (90˚ + 70˚) = 180˚ - 160˚ = 20˚.

MD = DK (по условию); OD - общий катет => △ODM = △ODK.

=> ∠DOK = ∠MOD = 20˚.

ответ: ∠MOD = 20˚.

Две точки на сторонах параллелограмма соединили с тремя его вершинами так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей оранжевых треугольников равна сумме площадей голубых треугольников.

Объяснение:

Площадь треугольника с синими и белыми частями равна

S( бел часть)+S₁+S₂=1/2*S(паралл.) (*),

а площадь треугольника с синими и желтыми  частями равна

S( бел часть)+S₃+S₄=1/2*S(паралл.)(**) .

Тк правые части (*) и(**) одинаковые , то

S( бел часть)+S₁+S₂=S( бел часть)+S₃+S₄ ⇒

S₁+S₂=S₃+S₄  , те сумма площадей оранжевых треугольников равна сумме площадей голубых треугольников.

Если концы одной из сторон параллелограмма соединить с произвольной точкой противоположной стороны , то площадь полученного треугольника равна половине площади параллелограмма.

Доказательство.

S( треуг)=1/2*AD*BH =1/2*(AD*BH)=1/2*S( паралл.)