1. радиус основания цилиндра относится к его высоте как 1: 2. найдите объём цилиндра, если диагональ его осевого сечения равна . 2. сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна . найдите объём пирамиды, если её боковая грань составляет с плоскостью основания угол 60°. 3. площадь осевого сечения конуса равна 30, а площадь его основания равна 25 . найдите объём конуса. 4. в куб вписан шар. найдите объём шара, если объём куба равен 24. 5. длины всех ребер правильной треугольной призмы равны между собой. вычислите объем призмы, если площадь ее поверхности равна cм2
В задаче надо найти скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
↑a · ↑b = |↑a| · |↑b| · cosα
Сначала найдем длины всех векторов.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому:
AO = OC = 3
AO = OB = AB = 3, значит треугольник АОВ равносторонний и
∠BAO = 60°.
Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:
ВС = √(АС² - АВ²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3
Противоположные стороны прямоугольника равны.
а) ↑АВ · ↑АС = |↑AB| · |↑AC| · cos∠BAC =
= 3 · 6 · cos60° = 18 · 1/2 = 9
б) ↑AO · ↑AD = |↑AO| · |↑AD| · cos∠OAD
∠OAD = 90° - ∠OAB = 90° - 60° = 30°
↑AO · ↑ AD = 3 · 3√3 · √3/2 = 27/2 = 13,5
в) ↑AD · ↑DC = |↑AD| · |↑DC| · cos∠ADC = 3√3 · 3 · cos90° =
= 3√3 · 3 · 0 = 0
1) Раз плоскость параллельна АВ, значит отрезок КМ принадлежащий и плоскости а и плоскости АВС - параллелен АВ. Значит тр-ки АВС и КМС подобны. Из подобия имеем: АВ/КМ=АС/КС или АВ/36=18/12.. Отсюда АВ = 54см.
2) В равнобедренном тр-ке АВС высота ВD1 к основанию АС является и медианой, то есть AD1=AC/2 = 16cм. Тогда высота BD1 по Пифагору равна √(34²-16²) = 30см. В прямоугольном тр-ке ВDD1 гипотенуза DD1 = √(BD1²+BD²)= √(900+400) ≈ 36cм. Синус угла между плоскостями АВС и ADC - это Sin <DD1B = BD/DD1 = 0,56. Значит угол равен 34°