1. Радиусы шаров равны 3 см и 5 см , а расстояние между их
центрами 6 см. Найдите длину линии, по которой пересекаются
их поверхности.
2. Найдите площадь поверхности прямоугольного
параллелепипеда по трем его измерениям, равным 6 см, 2 см и 4см.
3. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, если его объем равен 12 см3, а сторона основания равна 3 см.
4. Площадь осевого сечения цилиндра равна 20 см2, а высота цилиндра – 5 см. Найдите радиус основания.
5. Площадь осевого сечения цилиндра равна 12 см2, а площадь основания - 9pi см2. Найдите объем цилиндра.
6. Найдите площадь поверхности полусферы, диаметр которой равен 5 дм.
Объяснение:
1) допустим известен катет а. Т.к. треугольник прямоугольный и равнобедренный, то оба катета равны по а. Значит
S = (ab)\2 = а²/2
в - гипотенуза, тогда по теореме Пифагора имеем в = √(а² + а²) = √2а²
=а√2
высота в равнобедренном треугольнике является медианой и делит гипотенузу пополам. Катет, высота и половина гипотенузы образуют прямоугольный равнобедренный треугольник, значит
h = а√2/2
2) допустим известна гипотенуза в.
тогда найдем катет: а² + а² = в², 2а² = в², а = √(в²/2) = в/√2 = в√2/2
высота : h = в/2
S = (ab)\2 = (в√2/2)²/2 = в²/4
3) допустим известна высота h
высота в равнобедренном треугольнике является медианой и делит гипотенузу пополам. Катет, высота и половина гипотенузы образуют прямоугольный равнобедренный треугольник, значит в/2 = h , тогда
в = 2h
найдем катет: а² + а² = h ², (из треугольника, см. предыдущее пояснение) , 2а² = h ², а = h√2/2
S = (ab)\2 = (h√2/2)²/2 = h/4
4) допустим известна площадь S
найдем катет: а²/2 = S, а² = 2S, а = √(2S)
т.к. треугольник прямоугольный, то (√2S²) + (√2S)² = в², в² = 4S, в = 2√S
h это пологина гипотенузы, значит h =(2√S)/2 = √S
Удвоим медиану за 3 сторону. ( вообще это очень интересный рекомендую в интернете почитать)
Новая фигура параллелограмм. И два треугольника ( со сторонами 7, 11, 2Х и 7, 11, х+8) Равновеликие. Их площади равны половине от параллелограмма.
По формуле герона:
√р(р-7)(р-11)(р-2Х)=√п(п-7)(п-11)(п-Х-8)
Где Р=9+Х П=0,5Х+13 ( Полупериметры)
Возведем оба выражения в квадрат:
(9+Х)(Х+2)(Х-2)(9-Х)=(0,5Х+13)(0,5Х+6)(0,5Х+2)(-0,5Х+5)
Раскрываем скобки и упрощаем:
-15Х4 + 32 Х³ + 1404Х² - 3392Х - 17664 = 0
Получается уравнение 4 степени.
Подбором Х=6, делим все на х-6 и решаем кубическое уравнение.
В конце у нас есть два положительных корня Х=6 Х=8 (Удивительно, но это так) Х=6 посторонний корень. ( медиана должна быть больше одной, но меньше другой стороны, а 6 <7 6<11)
Так как третья сторона на 8 больше, то она равна 16.
ответ: 16
P.S. это очень нерациональное решение, но прикольное.