Уравнение плоскости ABS можно определить по такому выражению:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0. Где (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.
Подставив в это выражение координаты точек A, B и S, приведя подобные и разделив всё выражение на коэффициент при х, чтобы он был равен 1 , получаем: 1x + 0y + (√2/2)z - 2√3 = 0.
Т.к. все медианы треугольника пересекаются в одной точке, то CD проходит через точку O. Медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины. Тогда BO=8 и AO=6. Т.к. медианы AM и BK пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный, тогда его медиана OD равна половине гипотенузы, которую можно найти по теореме Пифагора, как AB²=BO²+AO² => AB=10. Тогда OD=5. Применив еще раз свойство деления медиан точкой пересечения, получим, что CD=15.
Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF (с вершиной S). Сторона основания равна 2, а боковое ребро равно √10.
Проекция бокового ребра на основание равна стороне основания.
Отсюда находим высоту Н пирамиды.
Н = √(10 - 4) = √6.
Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат стороной ЕД по оси Оу, точкой F на оси Ох.
Определяем координаты точек, принадлежащих заданным прямой CD и плоскости ABS.
C(√3; 4; 0), D(0; 3; 0). Вектор DС = (√3; 1; 0), модуль равен 2.
А(2√3; 1; 0),В((2√3; 3; 0), S(√3; 2; √6).
Уравнение плоскости ABS можно определить по такому выражению:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0. Где (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.
Подставив в это выражение координаты точек A, B и S, приведя подобные и разделив всё выражение на коэффициент при х, чтобы он был равен 1 , получаем: 1x + 0y + (√2/2)z - 2√3 = 0.
Имеем направляющий вектор прямой и модуль:
s = {l; m; n} √3 1 0 Модуль 2.
Вектор нормали плоскости имеет вид:
A B C
Ax + By + Cz + D = 0 1 0 √2/2 Модуль √6/2.
sin φ =|1*√3√+ 0*1 +(√2/2)*0|/(2*√6/2) = √3/√6 = 1/√2 = √2/2.
Угол равен: φ = arc sin(√2/2) = 45 градусов.
(см. объяснение)
Объяснение:
Т.к. все медианы треугольника пересекаются в одной точке, то CD проходит через точку O. Медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины. Тогда BO=8 и AO=6. Т.к. медианы AM и BK пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный, тогда его медиана OD равна половине гипотенузы, которую можно найти по теореме Пифагора, как AB²=BO²+AO² => AB=10. Тогда OD=5. Применив еще раз свойство деления медиан точкой пересечения, получим, что CD=15.
Задача решена!