4.3. Катеты прямоугольного треугольника лежат на осях Ох и Оу, причем их длины соответственно равны а и b. Каковы координаты вершин треугольника, если он расположен: 1) в первой четверти; 2) во второй четверти; 3) в третьей четверти; 4) в четвертой четверти?
Если симметрично отобразить треугольник вместе с полуокружностью относительно AC, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник ABB1 с гипотенузой BB1 = 2 и вписанной в него окружностью. Отсюда диаметр этой окружности PC = AB + AB1 - BB1 = 2√2 - 2;
Треугольник PCB - прямоугольный с катетами BC = 1; PC = 2√2 - 2;
Если M - точка пересечения PB и полуокружности, то ∠CMP - прямой, поскольку опирается на диаметр, то есть CM - высота в прямоугольном треугольнике PCB; она делит гипотенузу PB в отношении, равном квадрату отношения катетов, то есть
PM/MB = (PC/BC)^2 = 4(√2 - 1)^2 = 4(3 - 2√2);
Пусть даны катет АС и отрезок СК, равный сумме второго катета и гипотенузы. Нужно с циркуля и линейки построить прямоугольный треугольник АВС.
1)На произвольной прямой отмечаем точку С.
Из точки С возводим перпендикуляр. Для этого по обе стороны от С отмечаем точки 1 и 2 и из них, как из центра, проводим полуокружности по обе стороны от С. Точки пересечения соединяем.
На перпендикуляре откладываем длину данного катета, ставим точку А - это вторая вершина треугольника.
2) От С откладываем отрезок СК, равный сумме второго катета и гипотенузы.
Соединим К и А
3) Из А и К как из центров раствором циркуля больше половины АК проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения и продлим, если нужно, до пересечения с СК.
Обозначим это пересечение В, а пересечение с АК точкой М.
М - середина АК.
Соединим А и В.
Треугольник АВК - равнобедренный: АМ=МК по построению, МВ - высота и медиана.
АВ=КВ
В треугольнике АВС сумма длин сторон АВ и ВС равна СК. Следовательно, треугольник АВС - искомый.
В нем АС - заданный катет, АВ+ВС =СК, т.е. заданной сумме двух других сторон.
(Можно построение провести немного иначе: Провести в ∆ САК из середины АС параллельно СК прямую до пересечения с АК в точке М, которая разделит АК пополам, а затем провести к М перпендикуляр МВ, отметив по обе стороны от М центры 3 и 4 окружностей и далее как при возведении перпендикуляра СА).