Пусть АВ ∩ СD = О При пересечении двух прямых получаем пары равных углов : ∠AOD = ∠COB = x и ∠AOC = ∠DOB = y По условию задачи ∠AOD + ∠DOB +∠ BOC = 278° , а сумма всех четырёх углов равна 360° . Получим систему : x + y + x = 278° 2 x + y = 278° 2 x + y = 278° ⇒ ⇒ x + y + x + y =360° 2 x + 2 y = 360° x + y = 180° Из второго уравнения выразим у чеоез х : у = 180°-х и подставим это значение в 1 уравнение : 2 х + (180° - х ) = 278° ⇒ х + 180° = 278 ° ⇒ х= 278° - 180° ⇒ х = 98° Тогда у = 180° - х = 180° - 98° = 82° ответ : 98 ° ; 82° ; 98° ; 82°
Сделаем рисунок. Обозначим вершины трапеции АВСД. Опустим из вершины С тупого угла высоту СН.
По свойству высоты равнобедренной трапеции, опущенной из вершины тупого угла, она делит основание на отрезки, бóльший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности. Диагональ, высота и бóльший отрезок основания образуют прямоугольный треугольник АСН с углом САН=60°. Т.к сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, ∠АСН=30° Катет АН противолежит этому углу и по свойству такого катета равен половине гипотенузы. Гипотенуза=диагональ = 4. АН=4:2=2 см АН – полусумма оснований, т.е. она равна средней линии трапеции, Это ответ.
Проведем среднюю линию трапеции MN и две высоты из тупых углов.
АН=АС:2=2 (найдено в первом варианте).
КР=1 – средняя линия ∆ АСН. ЕН=КР=1 ( КРНЕ - прямоугольник по построению).
Тогда АЕ=1, и МК=РN=0,5 – средняя линия равных ∆ АВЕ и СDH
По условию задачи ∠AOD + ∠DOB +∠ BOC = 278° , а сумма всех четырёх углов равна 360° . Получим систему :
x + y + x = 278° 2 x + y = 278° 2 x + y = 278°
⇒ ⇒
x + y + x + y =360° 2 x + 2 y = 360° x + y = 180°
Из второго уравнения выразим у чеоез х : у = 180°-х и подставим это значение в 1 уравнение : 2 х + (180° - х ) = 278° ⇒
х + 180° = 278 ° ⇒ х= 278° - 180° ⇒ х = 98°
Тогда у = 180° - х = 180° - 98° = 82°
ответ : 98 ° ; 82° ; 98° ; 82°
Опустим из вершины С тупого угла высоту СН.
По свойству высоты равнобедренной трапеции, опущенной из вершины тупого угла, она делит основание на отрезки, бóльший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности.
Диагональ, высота и бóльший отрезок основания образуют прямоугольный треугольник АСН с углом САН=60°.
Т.к сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, ∠АСН=30°
Катет АН противолежит этому углу и по свойству такого катета равен половине гипотенузы.
Гипотенуза=диагональ = 4.
АН=4:2=2 см
АН – полусумма оснований, т.е. она равна средней линии трапеции, Это ответ.
Проведем среднюю линию трапеции MN и две высоты из тупых углов.
АН=АС:2=2 (найдено в первом варианте).
КР=1 – средняя линия ∆ АСН. ЕН=КР=1 ( КРНЕ - прямоугольник по построению).
Тогда АЕ=1, и МК=РN=0,5 – средняя линия равных ∆ АВЕ и СDH
МN=МК+KP+PN=2 см.