1) В правильном тетраэдре АВCD проведена высота DH к грани АВС. Длина ребра АС = 1. Найти:
а) высоту DH (при этом нужно сначала доказать, что точка Н лежит на определенной характерной линии в треугольнике АВС);
б) расстояния от точки H до точек А, В, С;
в) расстояния от точки H до ребер АВ, АС, DC;
г) величины двугранных углов тетраэдра;

2)
В тетраэдре ABCD точки M, N, P являются серединами ребер AB, BC и CD, причем AC = 10 см, BD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP.

3)
Докажите, что в тетраэдре ABCD (любом) все отрезки, соединяющие середины противоположных ребер (пары ребер AB и DC, AC и BD, AD и BC) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
4 и 5:

Даны вершины треугольника А(-2,0,1), В(8,-4,9), С(-1,2,3).

1) Находим длины сторон по разности координат точек.

АВ = √((8-(-2))² + ((-4-0)² + (9-1)²) = √(100 + 16 + 64) = √180 = 6√5.

BC = √((-1-8)² + ((2-(-4))² + (3-9)²) = √(81 + 36 + 36) = √153.

АC = √((-1-(-2))² + ((2-0)² + (3-1)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.

Далее по теореме косинусов определяем углы треугольника.

a(ВС) b(АС) c(АВ) p 2p S

12,36931688 3 13,41640786 14,39286237 28,78572474 18

153 9 180    

2,023545494 11,39286237 0,976454506 22,51115808 324 18

cos A = 0,447213595 cos B = 0,97618706 cos С = -0,242535625

Аrad = 1,107148718 Brad = 0,218668946 Сrad = 1,81577499

Аgr = 63,43494882 Bgr = 12,52880771 Сgr = 104,0362435.

Как видим - треугольник тупоугольный.

2) Находим координаты точки М как середины стороны АС.

М = (А(-2,0,1) + С(-1,2,3))/2  = (-1,5; 1; 2).

Длина ВМ = √((-1,5-8)² + ((1-(-4))² + (2-9)²) = √(90,25  + 25 + 49) = √164,25 ≈ 12,81600562.

Согласно условию \tt \angle P=90^\circ∠P=90

∘

, значит \tt \angle E=90^\circ-\angle K=90^\circ-60^\circ=30^\circ∠E=90

∘

−∠K=90

∘

−60

∘

=30

∘

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник MPK:

\tt \angle PKM=90^\circ-\angle PMK=90^\circ-60^\circ=30^\circ∠PKM=90

∘

−∠PMK=90

∘

−60

∘

=30

∘

Из треугольника MKE: \tt \angle MKE=60^\circ-30^\circ=30^\circ∠MKE=60

∘

−30

∘

=30

∘

и поскольку углы при основании равны, то треугольник MKE - равнобедренный, ME = MK = 16 см.

Вернемся теперь снова к прямоугольному треугольнику MPK: против угла 30° катет в два раза меньше гипотенузы, то есть: PM = MK/2=8 см.

ответ: 8 см.