1)
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB=82, а боковое ребро AA1=16. Точка K — середина ребра A1B1. На ребре DD1 отмечена точка F так, что DF=4. Плоскость α параллельна прямой A1C1 и содержит точки K и A.
а) Докажите, что прямая BF перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка B, а основание — сечение данной призмы плоскостью α.
2)
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 сторона AB=AA1=3, AD=6. На рёбрах AD и CC1 взяты соответственно точки M и N — середины этих рёбер.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершину D, параллельно MN и B1C.
б) Найдите объём пирамиды, основание которой — построенное сечение, а вершина — точка D1.
Поскольку точка K - середина ребра A1B1, то А1К = 8 (половина стороны А1B1).
Рассмотрим параллелограмм A1B1BF. В данном параллелограмме сторона А1B1 параллельна и равна стороне BF (по свойствам параллелограмма) и А1К = BF/2 (по условию).
Тогда треугольник А1BK равнобедренный, поскольку две его стороны равны. А значит, угол BAK = BKA.
Но угол BKA — это угол между прямой BK и плоскостью α.
Таким образом, прямая BK пересекает плоскость α под прямым углом. А так как прямая BF проходит через точку K и параллельна прямой BK, то она также перпендикулярна плоскости α.
б) Чтобы найти объём пирамиды, вершина которой - точка B, а основание - сечение призмы плоскостью α, необходимо найти площадь основания этой пирамиды и умножить её на высоту пирамиды.
Основание пирамиды - это сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью α. Найдём площадь этого сечения.
Поскольку плоскость α параллельна плоскости A1C1D1 (по условию), основание пирамиды будет параллельно и равностороннему многоугольнику A1C1D1. Найдём его площадь.
Треугольник A1C1D1 — это равносторонний треугольник, поскольку сторона A1C1 = A1D1 = C1D1 (все стороны основания призмы равны между собой).
Для определения площади равностороннего треугольника воспользуемся формулой: S = (a^2 * √3) / 4, где а - длина стороны треугольника.
Таким образом, площадь основания пирамиды равна: S = (82^2 * √3) / 4 (подставляем значения стороны основания AB = 82 в формулу).
Теперь необходимо найти высоту пирамиды. Поскольку плоскость α параллельна и проходит через точку K, то высота пирамиды равна отрезку BK.
У нас уже есть информация, что AB = 82 и A1К = 8.
Тогда BK = AB - A1К = 82 - 8 = 74.
Итак, площадь основания пирамиды равна (82^2 * √3) / 4, а высота пирамиды равна 74.
Объём пирамиды можно найти по формуле V = (S * h) / 3, где S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.
Подставляем значения в формулу: V = ((82^2 * √3) / 4 * 74) / 3.
Вычисляем данное выражение и получаем ответ на задачу.
2) а) Для построения сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершину D, параллельно MN и B1C,
нам понадобятся следующие шаги:
1. Возьмите чертёж параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
2. На рёбрах AD и CC1 отметьте соответствующие середины M и N.
3. Проведите параллельные линии через точки M и N.
4. Проведите линии, проходящие через вершины B1 и C1 параллельно линиям, проведенным через точки M и N.
5. Найдите точку пересечения этих прямых.
6. Проведите линию через точку D, проходящую через найденную точку пересечения.
7. Полученная линия будет являться сечением параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершину D, параллельно MN и B1C.
б) Чтобы найти объём пирамиды, основание которой - построенное сечение, а вершина - точка D1,
необходимо найти площадь основания пирамиды и умножить её на высоту пирамиды.
Основание пирамиды - это построенное сечение параллелепипеда.
Для определения площади основания пирамиды, необходимо измерить длину и ширину сечения.
Высоту пирамиды можно найти, измерив расстояние от вершины D1 до плоскости, на которой лежит сечение.
Используя измеренные значения, можно найти площадь основания пирамиды и высоту пирамиды.
Объём пирамиды можно найти по формуле V = (S * h) / 3, где S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.
Подставляем значения в формулу и вычисляем, чтобы получить ответ на задачу.