1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 3, 4 и 5 см, а полная поверхность
равна 84 см 2 .Найти боковую поверхность призмы и ее высоту. (ответ: 72 см 2
и 6см)
2. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с боковой стороной 13 см, а
основания 11 и 21 см. Площадь ее диагонального сечения 180 см 2 . Найти боковую поверхность
призмы. (ответ: 522 см 2 )
3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равна 8 см,
а диагональ боковой грани равна 7 см. Найти высоту параллелепипеда. (ответ: см)
4. Найти апофему правильной треугольной пирамиды, если высота пирамиды и высота основания
равны по 9 см. (ответ: см)
5. Основанием пирамиды - параллелограмм со сторонами 20 и 36 см и площадью 360 см 2 . Высота
пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найти
боковую поверхность пирамиды. (ответ: 768 см 2 )
6. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований
3 см и 5 см. Найти диагональ этой усеченной пирамиды. (ответ: 6 см)
7. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 7 дм и 1 дм. Найти ее
боковую поверхность, если боковое ребро пирамиды равно 5 дм. (ответ: 36 см 2 )
В решении этой задачи применима теорема Пифагора.
Смотрите рисунок, данный во вложении.
Если продолжить расстояние от точки А - проекции М на прямую α -
на длину расстояния от точки N до ее проекции В,
и соединить конец С этого отрезка с N,
получим прямоугольный треугольник MСN,
в котором известны гипотенуза MN=13 см,
и меньший катет МС=2+3=5 см
Если знаете несколько из Пифагоровых троек, а это как раз такая тройка (13,5,12), то, возможно, догадаетесь, что СN =12 см
По теореме Пифагора:
СN²=MN²- МС²= 169-25=144
СN=12 см
АВ=СN=12 см
ответ: Искомое расстояние равно 12 см
Проведем высоту наклонной призмы из вершины С₁.
Так как грань АА₁С₁С перпендикулярна плоскости основания, высота будет лежать в этой грани, а основание высоты - точка Н - на прямой АС.
АС ⊥ ВС так как ∠АСВ = 90° по условию, т.е.
СН⊥ВС, СН - проекция наклонной С₁С на плоскость основания, значит
С₁С⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
Боковые грани призмы - параллелограммы.
В параллелограмме ВВ₁С₁С есть прямой угол, значит эта грань - прямоугольник.
2.
Пусть А₁О⊥АВС.
Вершина А₁ равноудалена от всех вершин нижнего основания, т.е. А₁А = А₁В = А₁С.
Равные наклонные, проведенные из одной точки, имеют равные проекции:
АО = ВО = СО, тогда точка О - центр правильного треугольника АВС (точка пересечения медиан, биссектрис и высот, которые совпадают).
Так как АН⊥ВС, то и АО⊥ВС,
АО - проекция А₁А на плоскость основания, значит
А₁А⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
ВВ₁║АА₁, значит и ВВ₁⊥ВС.
Боковые грани призмы - параллелограммы.
В параллелограмме ВВ₁С₁С есть прямой угол, значит эта грань - прямоугольник.
3.
Пусть Sbb₁c₁c = 6 см², Sabb₁a₁ = 3√2 см².
КМР - сечение призмы, перпендикулярное боковому ребру.
Тогда ВВ₁⊥КМ и ВВ₁⊥МР, значит ∠КМР = 135° - линейный угол двугранного угла между боковыми гранями.
Sbb₁c₁c = BB₁ · KM
KM = Sbb₁c₁c / BB₁ = 6 / 3 = 2 см
Sabb₁a₁ = BB₁ · MP
MP = Sabb₁a₁ / BB₁ = 3√2 / 3 = √2 см
По теореме косинусов из ΔКМР:
КР² = KM² + MP² - 2·KM·MP·cos135° = 4 + 2 - 2·2·√2·(- √2/2) = 6 + 4 = 10
KP = √10 см
Sacc₁a₁ = AA₁ · KP = 3√10 см
Sбок = Sbb₁c₁c + Sabb₁a₁ + Sacc₁a₁ = (6 + 3√2 + 3√10) = 3(2 + √2 + √10) см²