У трикутнику АВС кут А = кут С. На сторонах АВ і АС відкладено рівні відрізки АМ і СК відповідно. Знайдіть довжину відрізка АК, якщо СМ= =14 см

Представь, что эти стороны треугольника - стрелки часов, часовая длиной 4 см, минутная 8 см. Сначала поставь ровно 12 часов. Хотя это не треугольник, так как стороны лежат на одной линии, это крайнее положение с наименьшим углом между ними, равным нулю. Медиана заканчивается посередине между концами стрелок, т. е посередине между 4 и 8 см, т. е на расстоянии 6 см от оси. Это максимальная величина медианы. Теперь поставь стрелки, чтобы они показывали ровно 6 часов. Это другое крайнее положение, тоже не треугольник, так как стороны (стрелки) на одной линии. Расстояние между концами стрелок 4+8=12 см, середина их находится на расстоянии 2 см от оси. Это минимально возможная длина медианы. Все другие промежуточные взаимные положения стрелок образуют треугольники. Значит медиана может принимать значения в диапазоне 2

Прямоугольный ΔАВС ВС=15, АС=25
АВ=√(АС²-ВС²)=√(625-225)=20
Через середину Е катета АВ (АЕ=ЕВ=АВ/2=10) проведен перпендикуляр ЕК=8 к плоскости. 
По условию АВ⊥ВС, значит ЕВ ⊥ ВС. Т.к. ЕК - перпендикуляр к плоскости треугольника, тогда по теореме о трех перпендикулярах КВ⊥ВС, т.е. КВ - искомое расстояние от вершины К до стороны ВС. 
КВ=√(ЕК²+ЕВ²)=√(64+100)=√164=2√41
Если ЕК - перпендикуляр к плоскости треугольника, а ЕД ⊥ АС, тогда по теореме о трех перпендикулярах КД⊥ АС, т.е. КД - искомое расстояние от вершины К до стороны АС. 
Прямоугольные ΔАДЕ подобен ΔАВС по острому углу (угол А - общий).
Значит АЕ/ЕС=ДЕ/ВС
ДЕ=АЕ*ВС/АС=10*15/25=6
КД=√(ЕК²+ДЕ²)=√(64+36)=√100=10