1. В треугольнике АВС проведены средние линии, равные 3см,4см,5см. Найти периметр треугольника АВС 2. Найти среднюю линию трапеции, если её основания равны 5см и 11см.
3. Три стороны описанного около окружности четырёхугольника последовательно равны 7см, 12см, 10см. Найти периметр четырёхугольника

Пусть угол A равен 2a, угол С равен 2с, тогда 60+2a+2с = 180 (градусов), то есть a+с = 60 (градусов). Пусть М и O - центр вписанной и описанной окружности соответственно. Точка М лежит на пересечении биссектрис углов треугольника ABC, поэтому угол AМC= 180 - (a+с) = 120 (градусов). Угол AOC - центральный, поэтому он в два раза больше угла B, то есть равен 120 (градусов). Таким образом, углы AМC и AOC равны. Значит, сторона AC видна из точек М и O под одним и тем же углом, равным 120 (градусов).  Следовательно, указанные точки A, C, М и O лежат на одной окружности.

Назовем трапецию ABCD начиная с левого края большего основания, двигаясь по часовой стрелке.Так как центр окружности лежит на большем основании, это значит, что трапеция равнобедренная => большее основание является диаметром окружности. Проведем  GO перпендикулярно AD. Получим угол AGD=90 градусов, как угол опирающийся на диаметр. Рассмотрим треугольник AGD -прямоугольный. Пусть AG=x,тогда и GD=x. По теореме Пифагора: 400=2 => х=10 . Рассмотрим треугольник AGO - прямоугольный. По теореме Пифагора: GO =10. GO равно высоте трапеции. Получаем S=(BC+AD)GO/2= (0,6*20+20)*10/2=160