№1
В треугольнике АВС угол А
равен 100°, угол С равен 40°.
a) Докажите, что треугольник
АВС равнобедренный и
укажите его боковые стороны
6) СК - биссектриса данного
треугольника. Найдите углы,
которые она образует со
стороной АВ.
№2.
Отрезки АВ и СД
пересекаются в точке О,
которая является серединой
каждого из них. Докажите, что
треугольник АОД равен
треугольнику ВОС.
№3.
В равнобедренном
треугольнике с периметром 80
см одна из сторон равна 20 см
Найдите длину основания
треугольника.

Даны векторы: а{1;2;-1}, b{-3;1;4}, с{3;4;-2}, d{2;-1;3}. Вычислите скалярное произведение (а+2b)*(с-d).
Решение:
Умножение вектора на число: p*a=(pXa;pYa;pZa), где p - любое число.
Сложение векторов : a+b=(x1+x2;y1+y2;z1+z2) .
Разность векторов : a-b=(x1-x2;y1-y2;z1-z2).
В нашем случае:
Вектор (a+2b){1+2(-3);2+2*1;-1+2*4} или (a+2b){5;4;7}.
Вектор (с-d){3-2;4-(-1);-2-3} или (с-d){1;5;-5}.
Скалярное произведение этих векторов находим по формуле:
(a,b)=x1*x2+y1*y2+z1*z2 или в нашем случае:
(а+2b)*(с-d)=5*1+4*5+7(-5)=10.
ответ: 10.

Площадь прямоугольного треугольника максимальна при одинаковой величине гипотенузы, когда острые углы равны по 45 градусов.
Катеты равны по 10*(√2/2) = 5√2.
Максимальная площадь равна Sмакс = (1/2)*(5√2)² = 50/2 = 25 кв.ед.

Это доказывается так:
Пусть катеты равны х и у.
По Пифагору 10² = х² + у².
Отсюда у = √(100-х²).
Функция площади S = (1/2)x*√(100-х²).
Найдём производную и приравняем нулю.
S' = (50-x²)/√(100-x²) = 0.
Для дроби достаточно приравнять нулю числитель (если знаменатель не равен 0).
50-х² = 0.
х = √50 = 5√2,
у при этом равен √(100-(5√2)²) = √(100-50) = √50 = 5√2.

То есть при равенстве катетов, при этом острые углы треугольника равны по 45 градусов.