1. Впрямой четырехугольной призме ABCDA,B,C,D. AB =8; LBAD
30°. Диагональ боковой грани В1С составляет с плоскостью боковой
грани DDICC угол 45°. Найти площадь полной поверхности призмы.
2. Каждое ребро наклонной призмы равно 8. Одна из вершин одного
основания призмы равноудалена от всех вершин другого основания.
Найти площадь боковой поверхности призмы

В основании правильной 4-х угольной пирамиды SABCD лежит квадрат. BSD-сечение, S=90 градусов, тогда углы В и С равны по 45 градусов, следовательно треуг. BSD-равнобедренный, BS=SD. Для вычисления объема нам нужна высота пирамиды SO, которая  является также высотой треуг. BSD. Эта высота разделила треуг. BSD на два равные равнобедренные треугольника BOS и DOS, у которых OB=OD=OS. Пусть ОВ=х, тогда и OS=x, следовательно, площадь сечения:

24=х*х

x^2=24

x=√24см, OB=OD=OS=√24см

Найдем сторону основания: АВ=√(ОВ^2+AO^2)=√(24+24)=√48см, тогда площадь основания S=AB^2=48см^2

Объем пирамиды вычисляется по формуле: V=(1/3)*S*h

h=OS=√24см

V=1/3*√24*48=16√24=32√6см^3

Соединим центры этих окружностей и получим треугольник, стороны которого равны сумме двух соответствующих радиусов:

а=2+4=6см

b=2+6=8см

с=4+6=10см

Стороны треугольника, вершины которого являюстя центрами данных окружностей, уже известны. Ясно, что окружность, радиус которой нужно найти, будет описанной около этого треугольника. Радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

R=a*b*c/4S, где S-площадь треугольника. Найдем S по формуле Герона:

S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)), где р=(a+b+c)/2

p=(6+8+10)/2=12см

S=√(12*(12-6)(12-8)(12-10))=12*6*4*2=24см

R=6*8*10/4*24=5см