1. Яке з наведених тверджень неправильне?
А) Діагоналі паралелограма перетинаються і в точці перетину діляться навпіл.
Б) Діагоналі квадрата перетинаються під кутом 90˚
В) Діагоналі ромба рівні.
Г) Діагоналі прямокутника рівні.
2. Кут при більшій основі рівнобічної трапеції дорівнює 110˚. Чому дорівнює кут
при меншій основі?
3. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 і 12. Чому дорівнює синус
кута, що лежить проти меншого катета?
4. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 8см. Знайдіть катет, що
лежить проти кута 45˚.
5. Паралельні прямі перетинають сторони кута з вершиною О у точках А, В, С, D.
Знайдіть ВD якщо ОВ=3, ОА=4, АС=2.
6. У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 4см і 20см, бічна сторона 10см.
Знайдіть площу трапеції.
- d - длина большой диагонали ромба, лежащего в основании прямой призмы.
- α - угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания.
- β - угол между данной диагональю основания и большей диагональю ромба.
Теперь пошагово рассмотрим решение:
1. Вспомним, что площадь поверхности прямой призмы вычисляется как сумма площадей всех ее боковых граней и оснований.
2. У прямоугольной призмы (к которой относится и прямая призма) боковые грани - это прямоугольники со сторонами, равными диагоналям основания и высоте призмы.
3. В нашем случае, у прямой призмы боковая грань - это параллелограмм, а высотой этого параллелограмма будет разность высоты призмы и высоты ромба.
4. Вычислим высоту ромба. Поскольку угол α между диагональю боковой грани и плоскостью основания равен углу между этой же диагональю и высотой ромба, то мы можем применить тригонометрические соотношения.
Так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то мы можем записать:
tan(α) = высота ромба / (d/2).
Выразим высоту ромба:
высота ромба = tan(α) * (d/2).
5. Вычислим высоту призмы (высоту вертикального отрезка между основаниями призмы).
Если рассмотреть высоту призмы вместе с отрезком, соединяющим центры верхних и нижних ромбов, то он образует прямоугольный треугольник.
Мы можем использовать функцию синус, чтобы выразить высоту призмы:
sin(β) = высота призмы / (d/2).
Выразим высоту призмы:
высота призмы = sin(β) * (d/2).
6. Вычислим площадь параллелограмма, являющегося боковой гранью прямой призмы.
Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, то есть:
площадь параллелограмма = (d/2) * высота ромба.
7. Вычислим площадь одного из оснований призмы.
Так как основание прямой призмы - это ромб, то площадь одного ромба равна половине произведения его диагоналей:
площадь основания = (1/2) * (d/2) * (d/2).
8. Найдем площадь верхнего основания призмы.
Поскольку этот ромб подобен основанию, его площадь равна площади основания:
площадь верхнего основания = площадь основания.
9. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней и оснований.
Так как у нас только одна боковая грань, мы можем записать:
площадь полной поверхности = 2 * площадь боковой грани + 2 * площадь основания.
10. Подставим ранее полученные результаты. Заметим, что площадь верхнего и нижнего основания равны:
площадь полной поверхности = 2 * площадь боковой грани + 2 * площадь основания
= 2 * ((d/2) * высота ромба) + 2 * площадь основания
= d * высота ромба + (d/2) * (d/2).
Таким образом, площадь полной поверхности прямой призмы равна d * высота ромба + (d/2) * (d/2), где:
- d - длина большой диагонали ромба, лежащего в основании прямой призмы.
- α - угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания.
- β - угол между данной диагональю основания и большей диагональю ромба.
Это подробное решение поможет понять, как найти площадь полной поверхности прямой призмы на основе заданных данных.
V = S * h,
где V - объем цилиндра, S - площадь основания, h - высота цилиндра.
Исходно имеем:
S1 - площадь основания цилиндра,
h1 - высота цилиндра.
Если высоту и радиус основания цилиндра увеличить в 3 раза, то получим:
S2 = (3 * r1)^2 * π = 9 * r1^2 * π,
где r1 - радиус основания цилиндра.
h2 = 3 * h1.
Теперь можем выразить новый объем цилиндра через S2 и h2:
V2 = S2 * h2 = (9 * r1^2 * π) * (3 * h1) = 27 * r1^2 * π * h1.
Таким образом, объем цилиндра увеличится в 27 раз при увеличении высоты и радиуса основания в 3 раза.
2) Чтобы найти объем конуса, воспользуемся формулой:
V = (1/3) * S * h,
где V - объем конуса, S - площадь осевого сечения, h - высота конуса.
Исходно имеем:
S - площадь осевого сечения конуса,
h - высота конуса,
l - образующая конуса.
Дано, что l = 17м.
Для определения площади осевого сечения конуса нам необходимо знать форму сечения. Давайте рассмотрим несколько возможных вариантов сечений:
1) Сечение конуса может быть прямоугольником. Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина равна b. Тогда площадь S = a * b = 120 м^2.
Помимо этого, по теореме Пифагора, известно, что образующая, высота и радиус осевого сечения конуса связаны следующим образом: l^2 = r^2 + h^2.
Таким образом, имеем:
a*b = 120,
l^2 = r^2 + h^2.
Можно решить эту систему уравнений численно или графически для получения значений a, b, r, h. После этого можно будет подставить значения в формулу для объема конуса и рассчитать его.
2) Сечение конуса может быть треугольником. Пусть основание треугольника - равносторонний треугольник со стороной a. Тогда площадь S = (a^2 * sqrt(3))/4 = 120 м^2.
Опять же, имеем уравнение l^2 = r^2 + h^2.
Для нахождения значений a, r, h воспользуемся аналогичными методами: решение системы уравнений численно или графически.
3) Сечение конуса может быть кругом. Тогда площадь S = π * r^2 = 120 м^2.
Опять же, получаем уравнение l^2 = r^2 + h^2.
Для нахождения значений r, h воспользуемся подстановкой данных в уравнение и его решением численно или графически.
После нахождения значений r и h можно рассчитать объем конуса, воспользовавшись формулой V = (1/3) * S * h.
Резюмируя, чтобы найти объем конуса, необходимо знать его площадь осевого сечения и его высоту, а также провести дополнительные расчеты в зависимости от формы сечения конуса.