1.Задача. ВD - бісектриса трикутника АВС, АD = 5см, CD = 4см. Знайдіть АВ, якщо ВС = 12см. 2.Задача. ВD - бісектриса трикутника АВС, АD : CD = 3 : 4 . Знайдіть АВ, якщо ВС =24см.
3. Задача. Бісектриса АМ трикутника ділить сторону ВС на відрізки, один із яких на 3 см більший ніж другий. Знайдіть ВС, якщо АВ = 21см,
АС = 14см.
Дано : ∠В=∠D=90° ,AB=CD. Доказать : АО=СО
Доказательство .
:
∠ВОА=∠DOC как вертикальные .
ΔАВО=ΔCDO как прямоугольные по равным катетам АВ= CD и противолежащим углам ∠ВОА=∠DOC .В равных треугольниках соответственные углы равны ⇒ АО=СО
:
∠ВОА=∠DOC как вертикальные . Пусть ∠ВОА=∠DOC =х
ΔАВО-прямоугольный , ∠ВАО=90°-∠ВОА=90° -х.
ΔCDО-прямоугольный , ∠DCО=90°-∠DOC=90° -х.
Поэтому ∠ВАО=∠DOC.
ΔАВО=ΔCDO как прямоугольные по равным катетам АВ= CD и прилежащим углам ∠ВАО=∠DOC. В равных треугольниках соответственные углы равны ⇒АО=СО
=========================
Признаки : Два прямоугольных треугольника равны, если равны катет и противолежащий острый угол одного треугольника катету и противолежащему углу другого треугольника.
Два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника.
Вычертим отдельно условный равнобедренный треугольник ОАВ и на стороне АВ точка N. ОА и ОВ - это радиусы.
Проведём отрезок ОN, равный расстоянию d от центра до точки N.
Из центра опустим перпендикуляр Оh на сторону АВ.
По условию задания АN:ВN = 3:4. Примем коэффициент пропорциональности за х.
Тогда АN = 3х, а ВN = 4х. Перпендикуляр Оh делит АВ пополам.
Составляем уравнения из треугольников ONA и ОhN.
Оh² = R²-(3.5x)² = R²-12,25x².
Oh² = d²-(0,5x)² = d²-0,25x², отсюда вытекает R²-12,25x² = d²-0,25x².
Приведём подобные: 12x² = R²-d².
Находим коэффициент х =√((R²-d²)/12) = √(R²-d²)/2√3.
Можно определить длину отрезка АN = 3x = 3√(R²-d²)/2√3 = √(3(R²-d²))/2.
Теперь в треугольнике OAN известны 3 стороны, поэтому находим по теореме косинусов косинус угла AON, а по нему и сам угол.
ответ: от отрезка ON откладываем найденный угол AON, проводим радиус ОА и через точки A и N проводим искомую хорду АВ.