Теорема Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство Обозначим буквой О точку пересечения двух медиан АА1 и ВВ1 треугольника АВС и проведём среднюю линию А1В1 этого треугольника Отрезок А1В1 параллелен стороне АВ (по теореме о средней линии треугольника) , поэтому 1= 2 и 3= 4. Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны, т. е. равны отношения сторон АО и А1О, ВО и В1О, АВ и А1В. Но АВ=2А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Таким образом, точка О пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении2:1, считая от вершины. Теорема доказана.
ОА=5 - катет, ОВ = 10 - гипотенуза. Катет в два раза короче гипотенузы, следовательно он лежит напротив угла в 30°. Значит ∠АВО=30°, ∠АОВ=90°-30°=60°.
Рассмотрим ΔОВС. Он прямоугольный, т.к. радиус ОС проведен в точку касания, т.е. ОС⊥СВ. АО=ОС, т.к. являются радиусами окружности. ОВ - общая сторона треугольников АВО и ОВС. ΔАВО=ΔОВС по гипотенузе и катету.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство
Обозначим буквой О точку пересечения двух медиан АА1 и ВВ1 треугольника АВС и проведём среднюю линию А1В1 этого треугольника Отрезок А1В1 параллелен стороне АВ (по теореме о средней линии треугольника) , поэтому 1= 2 и 3= 4. Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны, т. е. равны отношения сторон АО и А1О, ВО и В1О, АВ и А1В. Но АВ=2А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Таким образом, точка О пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении2:1, считая от вершины. Теорема доказана.
Рассмотрим ΔАВО. ОА - радиус окружности. ВА - касательная. Радиус окружности, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной. Следовательно ΔАВО прямоугольный. ∠ОАВ = 90°.
ОА=5 - катет, ОВ = 10 - гипотенуза. Катет в два раза короче гипотенузы, следовательно он лежит напротив угла в 30°. Значит ∠АВО=30°, ∠АОВ=90°-30°=60°.
Рассмотрим ΔОВС. Он прямоугольный, т.к. радиус ОС проведен в точку касания, т.е. ОС⊥СВ. АО=ОС, т.к. являются радиусами окружности. ОВ - общая сторона треугольников АВО и ОВС. ΔАВО=ΔОВС по гипотенузе и катету.
Следовательно ∠АОВ=∠ВОС=60°.
∠АОС=∠АОВ+∠ВОС=60°+60°=120°.
ответ: ∠АОС=120°.