10-11 класс вас 1. abcda b1c1d - куб, ab = а. найдите расстояние между прямыми: a) ab, и dc; 6) ab, cd b) ab и db ; r) a b и db в единичном кубе abcda1b1c1d1 найдите угол между прямыми: a) cc1 и ad; 6) bb, и а с.
Для решения задачи мы будем использовать знания о геометрии и углах.
Итак, у нас есть куб с вершинами A, B, C, D, A1, B1, C1, D1. Мы должны найти расстояние между заданными прямыми и углы между другими прямыми.
а) Найдем расстояние между прямыми AB и CD. Пусть M и N — точки на прямой CD, а P и Q — точки на прямой AB. Расстояние между прямыми это расстояние между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.
Для того чтобы найти расстояние между прямыми AB и CD, нам необходимо найти высоту параллелепипеда, образованного четырьмя точками M, N, P, Q. Возьмем, например, точку P. Она принадлежит прямой AB и параллелепипеду. Обозначим середину ребра AB, которое содержит точку P, как X. То есть, X — середина отрезка AB.
Заметим, что треугольник AXP прямоугольный, потому что AX — диагональ грани ABCD куба, а X точка делит ее на две части в отношении 1:1. То есть, AX = 2a (где a — сторона куба).
Теперь, чтобы найти высоту треугольника ANP, мы можем использовать подобие треугольников. Заметим, что треугольник ANP подобен треугольнику AXP, потому что у них углы A одинаковые (они прямые) и лишь отличается длина стороны PX и AN. Отношение длины сторон PX и AN будет таким же, как отношение длины сторон AX и AP, то есть, 1:2.
Из подобия мы можем выразить длину стороны AN через длину стороны AX: AN = 2 * PX = 2 * (a/2) = a.
Таким образом, высота треугольника ANP равна стороне куба a. И для параллелепипеда эта высота будет расстоянием между прямыми AB и CD.
б) Найдем расстояние между прямыми AB и DB. Аналогично предыдущем пункту, возьмем точку P на прямой AB и точку M на прямой DB. Наша задача найти высоту параллелепипеда, образованного точками P, Q, M, и N.
Обозначим середину ребра AB, содержащего точку P, как X. То есть, X — середина отрезка AB. Заметим, что треугольник AXP подобен треугольнику AXD, так как у них углы A равны (они прямые), и длина стороны PX равна длине стороны DX (обе они равны a).
Исходя из подобия, можно выразить длину стороны AM через dлину стороны AP: AM = 2 * PX = 2 * (a/2) = a.
Таким образом, высота параллелепипеда, образованного точками P, Q, M, и N, равна стороне куба a. И это и будет расстоянием между прямыми AB и DB.
р) Найдем угол между прямыми AB и DB в единичном кубе ABCDA1B1C1D1.
Возьмем точку P на прямой AB и точку M на прямой DB, как ранее. Рассмотрим треугольник AMP.
Заметим, что АМ равна стороне куба a, а МP равна диагонали грани BB1C1D1 куба (сторона куба умноженная на √2). То есть, МP = a * √2.
Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, в котором известны две стороны: АP = a и MР = a * √2. Мы можем использовать тангенс угла для нахождения его значения.
Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае противолежащий катет — МР, а прилежащий — АР.
Тангенс угла = МР / АР = (a * √2) / a = √2.
Таким образом, угол между прямыми AB и DB в единичном кубе ABCDA1B1C1D1 равен 45 градусов.
Вот и все! Если у вас есть еще вопросы или что-то не понятно, обязательно спрашивайте!
См. рис.
Объяснение:
Если будут вопросы, пиши в комментариях
Для решения задачи мы будем использовать знания о геометрии и углах.
Итак, у нас есть куб с вершинами A, B, C, D, A1, B1, C1, D1. Мы должны найти расстояние между заданными прямыми и углы между другими прямыми.
а) Найдем расстояние между прямыми AB и CD. Пусть M и N — точки на прямой CD, а P и Q — точки на прямой AB. Расстояние между прямыми это расстояние между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.
Для того чтобы найти расстояние между прямыми AB и CD, нам необходимо найти высоту параллелепипеда, образованного четырьмя точками M, N, P, Q. Возьмем, например, точку P. Она принадлежит прямой AB и параллелепипеду. Обозначим середину ребра AB, которое содержит точку P, как X. То есть, X — середина отрезка AB.
Заметим, что треугольник AXP прямоугольный, потому что AX — диагональ грани ABCD куба, а X точка делит ее на две части в отношении 1:1. То есть, AX = 2a (где a — сторона куба).
Теперь, чтобы найти высоту треугольника ANP, мы можем использовать подобие треугольников. Заметим, что треугольник ANP подобен треугольнику AXP, потому что у них углы A одинаковые (они прямые) и лишь отличается длина стороны PX и AN. Отношение длины сторон PX и AN будет таким же, как отношение длины сторон AX и AP, то есть, 1:2.
Из подобия мы можем выразить длину стороны AN через длину стороны AX: AN = 2 * PX = 2 * (a/2) = a.
Таким образом, высота треугольника ANP равна стороне куба a. И для параллелепипеда эта высота будет расстоянием между прямыми AB и CD.
б) Найдем расстояние между прямыми AB и DB. Аналогично предыдущем пункту, возьмем точку P на прямой AB и точку M на прямой DB. Наша задача найти высоту параллелепипеда, образованного точками P, Q, M, и N.
Обозначим середину ребра AB, содержащего точку P, как X. То есть, X — середина отрезка AB. Заметим, что треугольник AXP подобен треугольнику AXD, так как у них углы A равны (они прямые), и длина стороны PX равна длине стороны DX (обе они равны a).
Исходя из подобия, можно выразить длину стороны AM через dлину стороны AP: AM = 2 * PX = 2 * (a/2) = a.
Таким образом, высота параллелепипеда, образованного точками P, Q, M, и N, равна стороне куба a. И это и будет расстоянием между прямыми AB и DB.
р) Найдем угол между прямыми AB и DB в единичном кубе ABCDA1B1C1D1.
Возьмем точку P на прямой AB и точку M на прямой DB, как ранее. Рассмотрим треугольник AMP.
Заметим, что АМ равна стороне куба a, а МP равна диагонали грани BB1C1D1 куба (сторона куба умноженная на √2). То есть, МP = a * √2.
Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, в котором известны две стороны: АP = a и MР = a * √2. Мы можем использовать тангенс угла для нахождения его значения.
Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае противолежащий катет — МР, а прилежащий — АР.
Тангенс угла = МР / АР = (a * √2) / a = √2.
Таким образом, угол между прямыми AB и DB в единичном кубе ABCDA1B1C1D1 равен 45 градусов.
Вот и все! Если у вас есть еще вопросы или что-то не понятно, обязательно спрашивайте!