13. Дано вектори а (4; -5; 6), B(-1; 2; 5). Знайдіть: a+b, a – b,
а+ь, ја – Б.
14. При якому значенні твектори а (6; 0; 12) і Б (-8; 13; m) перпендикулярні?
15. Знайдіть на осіх точки, які віддалені від точки А (4; - 2; 3) на відстань 7.
16. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо А (7; 1; -5), В (4;-3;-4),
С (1;3;-2).
17. Чи колінеарні вектори а (2; 3; 8) iЬ (-4; 6; - 16) ?
Чи перпендикулярні вектори а (2; 3; 6) iЬ (3; 2; -1)?
18. Знайдіть координати середин сторін трикутника АВС, якщо А(2; 0; 2),
В(2:2;0), С(2;2;2).
19. Знайдіть довжину медіани BB, трикутника з вершинами А (4;0;-8),
В(2;0;3), C (16; 2; 8).
20. Знайдіть косинус кута Стрикутника АВС, якщо А(0; 1; - 1), В (1; -1; 2).
С(3; 1; 0).

РЕШЕНИЕ

AA₁ = 6/√2 дм =3√2 дм

BB₁ = √2 дм

< АОА1   и  <BOB1  вертикальные  -равны

АА1  || BB1  || CC1  - параллельные

указанные прямые отсекают на  АВ  и А1В1  пропорциональные отрезки

Это следствие из теоремы Фалеса о параллельных прямых пересекающих  стороны угла.

тогда  треугольники  AOA1 ~ COC1 ~BOB1  подобные

AO/OB=AA1/BB1=3√2 /√2 = 3 : 1

пусть АВ=х

тогда

АО=3/4 х

ОВ= х

АС=СВ= 1/2 х

СО= АО-АС=3/4 х - 1/2 х=3/4 х - 2/4 х=1/4 х

теперь  снова  треугольники  AOA1 ~ COC1   подобные

AA1/СС1= AO/СO=3/4х / 1/4х =   (3/4) / (1/4) = 3 : 1

CC1=1/3 * AA1 = 1/3 *3√2 =√2 дм  (возможна запись  1/3 *6/√2 =  2/√2 дм  )

ответ   √2 дм   или  2/√2 дм 

сделаем построение - сразу все видно

точки  K L M N - середины сторон прямоугольника АВСД

проведем прямые LN (параллельна АВ и СД) и КМ (параллельна ВС и АД)- 

они образуют равные прямоугольники  (стороны попарно равны)

KBLO  с диагональю KL

OLCM  с диагональю LM

NOMD  с диагональю NM

АKОN  с диагональю KN

и так понятно, что диагонали в равных прямоугольниках равны

KL=LM=NM=KN

но если кто сомневается , то можно доказать через теорему Пифагора

KL^2=KB^2+BL^2

LM^2=LC^2+CM^2

NM^2=MD^2+ND^2

KN^2=AN^2+AK^2

правые части этих выражений равны - это все половинки сторон

а значит равны и левые части

итак все стороны нового четырехугольника равны - это основное свойство РОМБА

если бы начальной фигурой был квадрат - то внутри тоже получился бы квадрат - но у нашего ромба углы 60-120-60-120