14. даны координаты вершин треугольника авс. требуется: 1. составить уравнение стороны ав и найти ее длину. 2. составить уравнение высоты bd и найти ее длину. 3. составить уравнение медианы ам. 4. составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан, параллельно стороне ав. 5. найти угол ∠а. 6. найти координаты точки а/ , симметричной вершине а, относительно точки d. 7. записать систему неравенств, определяющих треугольника abc а(-2; 4), в(-3; -9), с(8; -2)
1. Составление уравнения стороны ав и нахождение ее длины:
Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки A(-2, 4) и В(x, y), можно использовать формулу уравнения прямой в общем виде: y - y1 = (x - x1) * (y2 - y1) / (x2 - x1).
Заменяя значения координат вершин треугольника, получим уравнение прямой для стороны АВ:
y - 4 = (x - (-2)) * (4 - 4) / (x - (-2)) = 0.
Уравнение данной прямой будет просто y = 4, так как наклон у нее равен нулю. То есть, сторона АВ горизонтальна и находится на высоте у = 4.
Длина стороны АВ равна разности абсцисс точек А и В: |AB| = |x2 - x1| = |-2 - x| = |2 + x|.
2. Составление уравнения высоты bd и нахождение ее длины:
Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки B(x, y) и D(m, n), используем формулу уравнения прямой, аналогично предыдущему шагу: y - y1 = (x - x1) * (y2 - y1) / (x2 - x1).
Заменяя значения координат, получим уравнение прямой для высоты BD:
y - y1 = (x - x1) * (y2 - y1) / (x2 - x1) = (x - x) * (y - y) / (x - x) = 0.
Уравнение для высоты BD будет представлено просто уравнением x = x, так как наклон этой прямой равен нулю. То есть, высота BD вертикальна и проходит через точку B с координатами (x, y).
Длина высоты BD равна разности ординат точек B и D: |BD| = |y2 - y1| = |y - y| = |y - y|.
3. Составление уравнения медианы ам:
Для составления уравнения медианы, проходящей через точки A(-2, 4) и M(x, y), используем формулу уравнения прямой, аналогично предыдущим шагам: y - y1 = (x - x1) * (y2 - y1) / (x2 - x1).
Заменяя значения координат, получим уравнение прямой для медианы АМ:
y - 4 = (x - (-2)) * (y2 - 4) / (x2 - (-2)).
Svetlana Polyakova, [13.10.21 12:46]
Изначально поправим орфографическую ошибку: (x2 - (-2)) = (x + 2).
Получим уравнение медианы АМ: y - 4 = (x + 2) * (y - 4) / (x + 2).
4. Составление уравнения прямой, проходящей через точку пересечения медиан и параллельной стороне ав:
Для составления уравнения прямой, проходящей через точку пересечения медиан АМ и параллельной стороне АВ, необходимо использовать свойство медианы, которое заключается в том, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 1:2.
Итак, точка пересечения медиан находится на две трети от расстояния от вершины до середины стороны. То есть, координаты точки пересечения медиан AM считаются по формуле: xm = (x1 + x2) / 2 и ym = (y1 + y2) / 2.
Заменяя значения координат вершин треугольника, получим координаты точки пересечения медиан: xm = (-2 + x) / 2 и ym = (4 + y) / 2.
Уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан АМ и параллельной стороне АВ, получается заменой точек в уравнении стороны АВ:
y - ym = (x - xm) * (y2 - y1) / (x2 - x1),
где вместо x1, y1, x2, y2 подставляем значения координат вершин треугольника, а вместо xm и ym - координаты точки пересечения медиан.
5. Нахождение угла ∠а:
Угол ∠а может быть найден с использованием формулы скалярного произведения векторов (декартова система координат).
Сначала найдем векторы AB и AC:
AB(x, y) = (x2 - x1, y2 - y1) = (x - (-2), y - 4) = (x + 2, y - 4).
AC(x, y) = (x3 - x1, y3 - y1) = (8 - (-2), -2 - 4) = (10, -6).
Далее нам нужно найти скалярное произведение векторов AB и AC:
AB · AC = (x + 2)(10) + (y - 4)(-6) = 10x + 20 - 6y + 24 = 10x - 6y + 44.
Также нам понадобится длина вектора AB:
|AB| = √[(x + 2)² + (y - 4)²].
Теперь мы можем использовать формулу скалярного произведения для нахождения угла а:
cos(∠а) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|).
Для этого найдем значения AB · AC и |AB| * |AC| и заменим в формуле для cos(∠а).
6. Нахождение координат точки а/ , симметричной вершине а, относительно точки d.
Чтобы найти координаты точки а/ , симметричной вершине а(-2, 4) относительно точки d, нужно воспользоваться свойством симметрии, которое заключается в том, что откладывая от точки d на плоскости вектор, равный (-2, 4), получим координаты точки а/ .
То есть, координаты точки а/ будут xd = xd + (-2) и yd = yd + 4.
7. Запись системы неравенств, определяющих треугольник ABC.
Для записи системы неравенств, определяющей треугольник ABC, нужно использовать неравенства, связывающие значения абсциссы (x) и ординаты (y) вершин треугольника.
С учетом данных из вопроса о координатах вершин треугольника (-2, 4), (-3, -9) и (8, -2), систему неравенств можно записать следующим образом:
-2 < x < 8,
-9 < y < 4.