14. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1, взята точка E так, что A1E: EA = 4:3. Точка Т
— середина ребра ВС. Известно, что AB = 5, AD = 8,
AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро ВВ1 в
отношении 2:5.
б) Найдите угол между плоскостью ETD1, и плоскостью
AA1B1.​

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(Mx, My) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d = |A·Mx + B·My + C|

√A2 + B2

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости

Пример 1. Найти расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3).

Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки

d = |3·(-1) + 4·3 - 6| = |-3 + 12 - 6| = |3| = 0.6

√32 + 42 √9 + 16 5

ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.

Відповідь:

Площадь куска с надписью "Витя" равна площади куска с надписью "Митя".

Пояснення:

Пусть длина торта равна Х = Х1 + Х2, где Х1 - длина левой части ( там где написано "Витя" ), а Х2 - длина правой части ( там где написано "Митя" ).

Пусть ширина торта равна У = У1 + У2, где У1 - ширина верхней части ( там где написано "Витя" ), а У2 - ширина нижней части ( там где написано "Митя" ).

Тогда площадь куска с надписью "Витя" равна S1 = Х1 × У1, а площадь куска с надписью "Митя" равна S2 = Х2 × У2.

Поскольку в прямоугольнике проведена диагональ, то должна выполняться пропорция:

Х / У = Х1 / У2 = Х2 / У1 ( в пропорции индексы 1 и 2 возле Х и У не совпадают, так как мы привязали номера к кускам с именами и взяли номера Х слева на право, а номера У сверху вниз ).

Приведем уравнение для площади куска с надписью "Митя" ( S2 = Х2 × У2 ) к индексам Х1 и У1.

Из пропорции:

Х2 / У1 = Х1 / У2

Получаем:

Х2 = Х1 × У1 / У2

Подставим в уравнение для S2:

S2 = Х2 × У2 = Х1 × У1 × У2 / У2 = Х1 × У1 = S1

В результате мы получили, что площадь куска с надписью "Витя" равна площади куска с надписью "Митя".