2. Дано: а || b, с - секущая, ∠1 + ∠2 = 102°. Найти: все образовавшиеся углы. написать с дано

Центр вписанной окружности находится на высоте треугольника опущенной на его основание и расположен расстоянии  2/3 от вершины треугольника и 1/3 от основания

Если высота треугольника равна h, то расстояние от центра окружности до основания  (то есть радиус этой окружности) = h/3

Из условия задачи

    h-h/3=2 => 2h/3=2 => 2h=6 =>h=3

Cторона в прямоугольном треугольнике лежащая против угла 30 градусов равна удвоенному значению противолежащего катета, то есть боковая сторона треугольника равна 2h=6

Далее по теореме Пифагора находим половину основания

  (l)^2/2=6^2-3^2=36-9=27

l/2=3*sqrt(3)

 l=6*sqrt(3) - длина основания

Дано: ABCD - ромб; AG⊥CD; AG=5см; BD=10см.

Найти: ∠(AG, BD).

Диагонали в ромбе служат биссектрисами углов, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Пусть AC∩BD=O, тогда OD = BD÷2 = 10÷2 = 5см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AGC и DOC:

AG = 5см = OD;  ∠C - общий.

ΔAGC = ΔDOC по катету и острому углу, поэтому OC=GC.

Пусть AG∩OD=F.

Рассмотрим прямоугольные ΔFOC и ΔFGC:

FC - общая; OC=GC.

ΔFOC = ΔFGC по гипотенузе и катету, поэтому FO=FG.

Рассмотрим прямоугольные ΔAFO и ΔDFG:

∠AFO = ∠DFG как вертикальные; FO=FG.

ΔAFO = ΔDFG по катету и острому углу, поэтому AF=DF.

ΔAFD - равнобедренный (AF=DF), поэтому ∠DAF=∠ADF.

Пусть ∠СDF=x, тогда ∠ADF=x т.к. ∠CDF=∠ADF как углы при биссектрисе.

∠DAF=∠ADF=x.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠ADF+∠DAF+∠DFA=180°; ∠DFA=180°-∠ADF-∠DAF=180°-2x.

∠GDF+∠DFG+∠FGD=180°; ∠DFG=180°-∠FGD-∠GDF=90°-x.

Сумма смежных углов равна 180°.

∠DFG+∠DFA=180°=(90°-x)+(180°-2x)

270°-3x=180°;  3x=90°;  x=30°.

∠DFG = 90°-x = 90°-30° = 60°.

Угол между пересекающимися прямыми не превышает 90°, 60°<90° ⇒ ∠(AG, BD) = ∠DFG = 60°.

ответ: 60°.